Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18585 / 22577
↖ ↑ ↗
← S 56.078167°
E 24.180908°		 ← 681.75 m → S 56.078167°
E 24.191894°		 →
↑
681.70 m
↓
↑
681.70 m
↓
S 56.084297°
E 24.180908°		 ← 681.64 m →
464 710 m²		 S 56.084297°
E 24.191894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567184448242188 y=0.689010620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567184448242188 × 215)
    floor (0.567184448242188 × 32768)
    floor (18585.5)     		tx = 18585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689010620117188 × 215)
    floor (0.689010620117188 × 32768)
    floor (22577.5)     		ty = 22577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18585 / 22577 ti = "15/18585/22577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18585/22577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18585 ÷ 215
    18585 ÷ 32768     		x = 0.567169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22577 ÷ 215
    22577 ÷ 32768     		y = 0.688995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567169189453125 × 2 - 1) × π
    0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.37799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18749287738803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42203646} λ = 0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18749287738803))-π/2
    2×atan(0.304984940992714)-π/2
    2×0.29602383704935-π/2
    0.592047674098701-1.57079632675     		φ = -0.97874865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97874865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.078167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18585 KachelY 22577 0.42203646 -0.97874865 24.180908 -56.078167
    Oben rechts KachelX + 1 18586 KachelY 22577 0.42222821 -0.97874865 24.191894 -56.078167
    Unten links KachelX 18585 KachelY + 1 22578 0.42203646 -0.97885565 24.180908 -56.084297
    Unten rechts KachelX + 1 18586 KachelY + 1 22578 0.42222821 -0.97885565 24.191894 -56.084297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97874865--0.97885565) × R
    0.000106999999999968 × 6371000     		dl = 681.696999999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97874865--0.97885565) × R
    0.000106999999999968 × 6371000     		dr = 681.696999999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42203646-0.42222821) × cos(-0.97874865) × R
    0.000191749999999991 × 0.558061353265271 × 6371000     		do = 681.749653056936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42203646-0.42222821) × cos(-0.97885565) × R
    0.000191749999999991 × 0.557972561503958 × 6371000     		du = 681.64118155624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97874865)-sin(-0.97885565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558061353265271-0.557972561503958)×R²
    abs(0.42222821-0.42203646)×8.87917613129341e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87917613129341e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87917613129341e-05×40589641000000     		ar = 464709.721335304m²