Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18585 / 19252
↖ ↑ ↗
← S 30.031055°
E 24.180908°		 ← 1 057.64 m → S 30.031055°
E 24.191894°		 →
↑
1 057.59 m
↓
↑
1 057.59 m
↓
S 30.040566°
E 24.180908°		 ← 1 057.54 m →
1 118 491 m²		 S 30.040566°
E 24.191894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567184448242188 y=0.587539672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567184448242188 × 215)
    floor (0.567184448242188 × 32768)
    floor (18585.5)     		tx = 18585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587539672851562 × 215)
    floor (0.587539672851562 × 32768)
    floor (19252.5)     		ty = 19252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18585 / 19252 ti = "15/18585/19252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18585/19252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18585 ÷ 215
    18585 ÷ 32768     		x = 0.567169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19252 ÷ 215
    19252 ÷ 32768     		y = 0.5875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567169189453125 × 2 - 1) × π
    0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.549932112441284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42203646} λ = 0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549932112441284))-π/2
    2×atan(0.576988979424145)-π/2
    2×0.523327765883234-π/2
    1.04665553176647-1.57079632675     		φ = -0.52414079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52414079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.031055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18585 KachelY 19252 0.42203646 -0.52414079 24.180908 -30.031055
    Oben rechts KachelX + 1 18586 KachelY 19252 0.42222821 -0.52414079 24.191894 -30.031055
    Unten links KachelX 18585 KachelY + 1 19253 0.42203646 -0.52430679 24.180908 -30.040566
    Unten rechts KachelX + 1 18586 KachelY + 1 19253 0.42222821 -0.52430679 24.191894 -30.040566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52414079--0.52430679) × R
    0.000165999999999999 × 6371000     		dl = 1057.586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52414079--0.52430679) × R
    0.000165999999999999 × 6371000     		dr = 1057.586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42203646-0.42222821) × cos(-0.52414079) × R
    0.000191749999999991 × 0.865754269386557 × 6371000     		do = 1057.63939633764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42203646-0.42222821) × cos(-0.52430679) × R
    0.000191749999999991 × 0.865671179550664 × 6371000     		du = 1057.53789053284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52414079)-sin(-0.52430679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865754269386557-0.865671179550664)×R²
    abs(0.42222821-0.42203646)×8.30898358931131e-05×R²
    0.000191749999999991×8.30898358931131e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.30898358931131e-05×40589641000000     		ar = 1118490.94562464m²