Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18585 / 15151
↖ ↑ ↗
← N 13.421681°
E 24.180908°		 ← 1 188.27 m → N 13.421681°
E 24.191894°		 →
↑
1 188.32 m
↓
↑
1 188.32 m
↓
N 13.410994°
E 24.180908°		 ← 1 188.33 m →
1 412 080 m²		 N 13.410994°
E 24.191894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567184448242188 y=0.462387084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567184448242188 × 215)
    floor (0.567184448242188 × 32768)
    floor (18585.5)     		tx = 18585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462387084960938 × 215)
    floor (0.462387084960938 × 32768)
    floor (15151.5)     		ty = 15151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18585 / 15151 ti = "15/18585/15151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18585/15151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18585 ÷ 215
    18585 ÷ 32768     		x = 0.567169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15151 ÷ 215
    15151 ÷ 32768     		y = 0.462371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567169189453125 × 2 - 1) × π
    0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    0.07525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.236424788926117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42203646} λ = 0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236424788926117))-π/2
    2×atan(1.26671228124636)-π/2
    2×0.902524421706205-π/2
    1.80504884341241-1.57079632675     		φ = 0.23425252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23425252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.421681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18585 KachelY 15151 0.42203646 0.23425252 24.180908 13.421681
    Oben rechts KachelX + 1 18586 KachelY 15151 0.42222821 0.23425252 24.191894 13.421681
    Unten links KachelX 18585 KachelY + 1 15152 0.42203646 0.23406600 24.180908 13.410994
    Unten rechts KachelX + 1 18586 KachelY + 1 15152 0.42222821 0.23406600 24.191894 13.410994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23425252-0.23406600) × R
    0.000186519999999996 × 6371000     		dl = 1188.31891999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23425252-0.23406600) × R
    0.000186519999999996 × 6371000     		dr = 1188.31891999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42203646-0.42222821) × cos(0.23425252) × R
    0.000191749999999991 × 0.972688115106565 × 6371000     		do = 1188.27397942264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42203646-0.42222821) × cos(0.23406600) × R
    0.000191749999999991 × 0.972731392460163 × 6371000     		du = 1188.32684873643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23425252)-sin(0.23406600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972688115106565-0.972731392460163)×R²
    abs(0.42222821-0.42203646)×4.32773535978814e-05×R²
    0.000191749999999991×4.32773535978814e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.32773535978814e-05×40589641000000     		ar = 1412079.86878825m²