Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18584 / 13266
↖ ↑ ↗
← N 32.379962°
E 24.169922°		 ← 1 031.64 m → N 32.379962°
E 24.180908°		 →
↑
1 031.72 m
↓
↑
1 031.72 m
↓
N 32.370683°
E 24.169922°		 ← 1 031.75 m →
1 064 417 m²		 N 32.370683°
E 24.180908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567153930664062 y=0.404861450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567153930664062 × 215)
    floor (0.567153930664062 × 32768)
    floor (18584.5)     		tx = 18584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404861450195312 × 215)
    floor (0.404861450195312 × 32768)
    floor (13266.5)     		ty = 13266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18584 / 13266 ti = "15/18584/13266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18584/13266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18584 ÷ 215
    18584 ÷ 32768     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13266 ÷ 215
    13266 ÷ 32768     		y = 0.40484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40484619140625 × 2 - 1) × π
    0.1903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.59786901206134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.59786901206134))-π/2
    2×atan(1.81824002148743)-π/2
    2×1.06796663300119-π/2
    2.13593326600238-1.57079632675     		φ = 0.56513694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56513694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.379962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18584 KachelY 13266 0.42184472 0.56513694 24.169922 32.379962
    Oben rechts KachelX + 1 18585 KachelY 13266 0.42203646 0.56513694 24.180908 32.379962
    Unten links KachelX 18584 KachelY + 1 13267 0.42184472 0.56497500 24.169922 32.370683
    Unten rechts KachelX + 1 18585 KachelY + 1 13267 0.42203646 0.56497500 24.180908 32.370683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56513694-0.56497500) × R
    0.000161940000000027 × 6371000     		dl = 1031.71974000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56513694-0.56497500) × R
    0.000161940000000027 × 6371000     		dr = 1031.71974000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42203646) × cos(0.56513694) × R
    0.000191739999999996 × 0.844515272662637 × 6371000     		do = 1031.63920024109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42203646) × cos(0.56497500) × R
    0.000191739999999996 × 0.844601985554818 × 6371000     		du = 1031.74512658918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56513694)-sin(0.56497500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844515272662637-0.844601985554818)×R²
    abs(0.42203646-0.42184472)×8.67128921810956e-05×R²
    0.000191739999999996×8.67128921810956e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.67128921810956e-05×40589641000000     		ar = 1064417.1729247m²