Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18583 / 51355
↖ ↑ ↗
← S 70.893280°
W 77.920532°		 ← 199.93 m → S 70.893280°
W 77.915039°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
S 70.895078°
W 77.920532°		 ← 199.91 m →
39 968 m²		 S 70.895078°
W 77.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283561706542969 y=0.783622741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283561706542969 × 216)
    floor (0.283561706542969 × 65536)
    floor (18583.5)     		tx = 18583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783622741699219 × 216)
    floor (0.783622741699219 × 65536)
    floor (51355.5)     		ty = 51355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18583 / 51355 ti = "16/18583/51355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18583/51355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18583 ÷ 216
    18583 ÷ 65536     		x = 0.283554077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51355 ÷ 216
    51355 ÷ 65536     		y = 0.783615112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.432891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.35996984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783615112304688 × 2 - 1) × π
    -0.567230224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78200630647597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35996984} λ = -1.35996984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78200630647597))-π/2
    2×atan(0.168300146641437)-π/2
    2×0.166737587060355-π/2
    0.33347517412071-1.57079632675     		φ = -1.23732115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35996984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.920532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23732115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.893280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18583 KachelY 51355 -1.35996984 -1.23732115 -77.920532 -70.893280
    Oben rechts KachelX + 1 18584 KachelY 51355 -1.35987397 -1.23732115 -77.915039 -70.893280
    Unten links KachelX 18583 KachelY + 1 51356 -1.35996984 -1.23735253 -77.920532 -70.895078
    Unten rechts KachelX + 1 18584 KachelY + 1 51356 -1.35987397 -1.23735253 -77.915039 -70.895078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23732115--1.23735253) × R
    3.13799999998032e-05 × 6371000     		dl = 199.921979998746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23732115--1.23735253) × R
    3.13799999998032e-05 × 6371000     		dr = 199.921979998746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35996984--1.35987397) × cos(-1.23732115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327328729468488 × 6371000     		do = 199.928384728987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35996984--1.35987397) × cos(-1.23735253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327299078015015 × 6371000     		du = 199.910273983842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23732115)-sin(-1.23735253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327328729468488-0.327299078015015)×R²
    abs(-1.35987397--1.35996984)×2.9651453473778e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9651453473778e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9651453473778e-05×40589641000000     		ar = 39968.2681681168m²