Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18583 / 13263
↖ ↑ ↗
← N 32.407792°
E 24.158936°		 ← 1 031.38 m → N 32.407792°
E 24.169922°		 →
↑
1 031.46 m
↓
↑
1 031.46 m
↓
N 32.398516°
E 24.158936°		 ← 1 031.48 m →
1 063 882 m²		 N 32.398516°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567123413085938 y=0.404769897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567123413085938 × 215)
    floor (0.567123413085938 × 32768)
    floor (18583.5)     		tx = 18583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404769897460938 × 215)
    floor (0.404769897460938 × 32768)
    floor (13263.5)     		ty = 13263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18583 / 13263 ti = "15/18583/13263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18583/13263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18583 ÷ 215
    18583 ÷ 32768     		x = 0.567108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13263 ÷ 215
    13263 ÷ 32768     		y = 0.404754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567108154296875 × 2 - 1) × π
    0.13421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42165297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404754638671875 × 2 - 1) × π
    0.19049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.598444254856781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42165297} λ = 0.42165297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598444254856781))-π/2
    2×atan(1.81928625184956)-π/2
    2×1.06820949624466-π/2
    2.13641899248932-1.57079632675     		φ = 0.56562267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42165297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.158936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56562267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.407792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18583 KachelY 13263 0.42165297 0.56562267 24.158936 32.407792
    Oben rechts KachelX + 1 18584 KachelY 13263 0.42184472 0.56562267 24.169922 32.407792
    Unten links KachelX 18583 KachelY + 1 13264 0.42165297 0.56546077 24.158936 32.398516
    Unten rechts KachelX + 1 18584 KachelY + 1 13264 0.42184472 0.56546077 24.169922 32.398516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56562267-0.56546077) × R
    0.000161900000000048 × 6371000     		dl = 1031.46490000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56562267-0.56546077) × R
    0.000161900000000048 × 6371000     		dr = 1031.46490000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42165297-0.42184472) × cos(0.56562267) × R
    0.000191749999999991 × 0.844255049347675 × 6371000     		do = 1031.37510529376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42165297-0.42184472) × cos(0.56546077) × R
    0.000191749999999991 × 0.844341807229663 × 6371000     		du = 1031.48109212764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56562267)-sin(0.56546077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844255049347675-0.844341807229663)×R²
    abs(0.42184472-0.42165297)×8.67578819885306e-05×R²
    0.000191749999999991×8.67578819885306e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.67578819885306e-05×40589641000000     		ar = 1063881.88301786m²