Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18582 / 19400
↖ ↑ ↗
← S 31.428663°
E 24.147949°		 ← 1 042.41 m → S 31.428663°
E 24.158936°		 →
↑
1 042.36 m
↓
↑
1 042.36 m
↓
S 31.438037°
E 24.147949°		 ← 1 042.31 m →
1 086 514 m²		 S 31.438037°
E 24.158936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567092895507812 y=0.592056274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567092895507812 × 215)
    floor (0.567092895507812 × 32768)
    floor (18582.5)     		tx = 18582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592056274414062 × 215)
    floor (0.592056274414062 × 32768)
    floor (19400.5)     		ty = 19400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18582 / 19400 ti = "15/18582/19400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18582/19400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18582 ÷ 215
    18582 ÷ 32768     		x = 0.56707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19400 ÷ 215
    19400 ÷ 32768     		y = 0.592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56707763671875 × 2 - 1) × π
    0.1341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42146122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.18408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.578310757016357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42146122} λ = 0.42146122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578310757016357))-π/2
    2×atan(0.560844970249394)-π/2
    2×0.511131337955494-π/2
    1.02226267591099-1.57079632675     		φ = -0.54853365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42146122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.147949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54853365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.428663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18582 KachelY 19400 0.42146122 -0.54853365 24.147949 -31.428663
    Oben rechts KachelX + 1 18583 KachelY 19400 0.42165297 -0.54853365 24.158936 -31.428663
    Unten links KachelX 18582 KachelY + 1 19401 0.42146122 -0.54869726 24.147949 -31.438037
    Unten rechts KachelX + 1 18583 KachelY + 1 19401 0.42165297 -0.54869726 24.158936 -31.438037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54853365--0.54869726) × R
    0.000163609999999981 × 6371000     		dl = 1042.35930999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54853365--0.54869726) × R
    0.000163609999999981 × 6371000     		dr = 1042.35930999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42146122-0.42165297) × cos(-0.54853365) × R
    0.000191749999999991 × 0.853290047661569 × 6371000     		do = 1042.41261385769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42146122-0.42165297) × cos(-0.54869726) × R
    0.000191749999999991 × 0.853204724004508 × 6371000     		du = 1042.30837912927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54853365)-sin(-0.54869726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853290047661569-0.853204724004508)×R²
    abs(0.42165297-0.42146122)×8.53236570607097e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53236570607097e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53236570607097e-05×40589641000000     		ar = 1086514.17031929m²