Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18581 / 13265
↖ ↑ ↗
← N 32.389239°
E 24.136963°		 ← 1 031.59 m → N 32.389239°
E 24.147949°		 →
↑
1 031.59 m
↓
↑
1 031.59 m
↓
N 32.379962°
E 24.136963°		 ← 1 031.69 m →
1 064 232 m²		 N 32.379962°
E 24.147949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567062377929688 y=0.404830932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567062377929688 × 215)
    floor (0.567062377929688 × 32768)
    floor (18581.5)     		tx = 18581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404830932617188 × 215)
    floor (0.404830932617188 × 32768)
    floor (13265.5)     		ty = 13265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18581 / 13265 ti = "15/18581/13265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18581/13265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18581 ÷ 215
    18581 ÷ 32768     		x = 0.567047119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13265 ÷ 215
    13265 ÷ 32768     		y = 0.404815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567047119140625 × 2 - 1) × π
    0.13409423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42126947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404815673828125 × 2 - 1) × π
    0.19036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.598060759659821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42126947} λ = 0.42126947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598060759659821))-π/2
    2×atan(1.81858869807289)-π/2
    2×1.06804759573161-π/2
    2.13609519146322-1.57079632675     		φ = 0.56529886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42126947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.136963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56529886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.389239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18581 KachelY 13265 0.42126947 0.56529886 24.136963 32.389239
    Oben rechts KachelX + 1 18582 KachelY 13265 0.42146122 0.56529886 24.147949 32.389239
    Unten links KachelX 18581 KachelY + 1 13266 0.42126947 0.56513694 24.136963 32.379962
    Unten rechts KachelX + 1 18582 KachelY + 1 13266 0.42146122 0.56513694 24.147949 32.379962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56529886-0.56513694) × R
    0.000161919999999927 × 6371000     		dl = 1031.59231999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56529886-0.56513694) × R
    0.000161919999999927 × 6371000     		dr = 1031.59231999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42126947-0.42146122) × cos(0.56529886) × R
    0.000191750000000046 × 0.844428548336776 × 6371000     		do = 1031.58705846898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42126947-0.42146122) × cos(0.56513694) × R
    0.000191750000000046 × 0.844515272662637 × 6371000     		du = 1031.69300430938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56529886)-sin(0.56513694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844428548336776-0.844515272662637)×R²
    abs(0.42146122-0.42126947)×8.67243258612094e-05×R²
    0.000191750000000046×8.67243258612094e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.67243258612094e-05×40589641000000     		ar = 1064231.93571074m²