Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18580 / 13528
↖ ↑ ↗
← N 29.916852°
E 24.125977°		 ← 1 058.80 m → N 29.916852°
E 24.136963°		 →
↑
1 058.86 m
↓
↑
1 058.86 m
↓
N 29.907329°
E 24.125977°		 ← 1 058.90 m →
1 121 176 m²		 N 29.907329°
E 24.136963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567031860351562 y=0.412857055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567031860351562 × 215)
    floor (0.567031860351562 × 32768)
    floor (18580.5)     		tx = 18580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412857055664062 × 215)
    floor (0.412857055664062 × 32768)
    floor (13528.5)     		ty = 13528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18580 / 13528 ti = "15/18580/13528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18580/13528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18580 ÷ 215
    18580 ÷ 32768     		x = 0.5670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13528 ÷ 215
    13528 ÷ 32768     		y = 0.412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5670166015625 × 2 - 1) × π
    0.134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42107773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412841796875 × 2 - 1) × π
    0.17431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.547631141259522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42107773} λ = 0.42107773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547631141259522))-π/2
    2×atan(1.72915204553635)-π/2
    2×1.04647195004051-π/2
    2.09294390008102-1.57079632675     		φ = 0.52214757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42107773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.125977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52214757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.916852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18580 KachelY 13528 0.42107773 0.52214757 24.125977 29.916852
    Oben rechts KachelX + 1 18581 KachelY 13528 0.42126947 0.52214757 24.136963 29.916852
    Unten links KachelX 18580 KachelY + 1 13529 0.42107773 0.52198137 24.125977 29.907329
    Unten rechts KachelX + 1 18581 KachelY + 1 13529 0.42126947 0.52198137 24.136963 29.907329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52214757-0.52198137) × R
    0.000166200000000005 × 6371000     		dl = 1058.86020000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52214757-0.52198137) × R
    0.000166200000000005 × 6371000     		dr = 1058.86020000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42107773-0.42126947) × cos(0.52214757) × R
    0.000191739999999996 × 0.866750094405313 × 6371000     		do = 1058.8007146182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42107773-0.42126947) × cos(0.52198137) × R
    0.000191739999999996 × 0.866832973469636 × 6371000     		du = 1058.90195765595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52214757)-sin(0.52198137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866750094405313-0.866832973469636)×R²
    abs(0.42126947-0.42107773)×8.28790643233601e-05×R²
    0.000191739999999996×8.28790643233601e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.28790643233601e-05×40589641000000     		ar = 1121175.54013305m²