Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1858 / 1992
↖ ↑ ↗
← N 79.400084°
W139.174805°		 ← 449.44 m → N 79.400084°
W139.152832°		 →
↑
449.54 m
↓
↑
449.54 m
↓
N 79.396042°
W139.174805°		 ← 449.61 m →
202 079 m²		 N 79.396042°
W139.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113433837890625 y=0.121612548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113433837890625 × 214)
    floor (0.113433837890625 × 16384)
    floor (1858.5)     		tx = 1858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121612548828125 × 214)
    floor (0.121612548828125 × 16384)
    floor (1992.5)     		ty = 1992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1858 / 1992 ti = "14/1858/1992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1858/1992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1858 ÷ 214
    1858 ÷ 16384     		x = 0.1134033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1992 ÷ 214
    1992 ÷ 16384     		y = 0.12158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.773193359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42905858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12158203125 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42905858} λ = -2.42905858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37767022115479))-π/2
    2×atan(10.779759130856)-π/2
    2×1.47829461403695-π/2
    2.95658922807391-1.57079632675     		φ = 1.38579290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42905858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38579290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.400084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1858 KachelY 1992 -2.42905858 1.38579290 -139.174805 79.400084
    Oben rechts KachelX + 1 1859 KachelY 1992 -2.42867508 1.38579290 -139.152832 79.400084
    Unten links KachelX 1858 KachelY + 1 1993 -2.42905858 1.38572234 -139.174805 79.396042
    Unten rechts KachelX + 1 1859 KachelY + 1 1993 -2.42867508 1.38572234 -139.152832 79.396042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38579290-1.38572234) × R
    7.05599999999418e-05 × 6371000     		dl = 449.537759999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38579290-1.38572234) × R
    7.05599999999418e-05 × 6371000     		dr = 449.537759999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42905858--2.42867508) × cos(1.38579290) × R
    0.00038349999999987 × 0.183949901847889 × 6371000     		do = 449.440840261904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42905858--2.42867508) × cos(1.38572234) × R
    0.00038349999999987 × 0.184019257327281 × 6371000     		du = 449.61029501356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38579290)-sin(1.38572234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183949901847889-0.184019257327281)×R²
    abs(-2.42867508--2.42905858)×6.93554793922135e-05×R²
    0.00038349999999987×6.93554793922135e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.93554793922135e-05×40589641000000     		ar = 202078.716822722m²