Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1858 / 1346
↖ ↑ ↗
← N 76.163992°
W 98.349609°		 ← 1 168.57 m → N 76.163992°
W 98.305664°		 →
↑
1 169.01 m
↓
↑
1 169.01 m
↓
N 76.153479°
W 98.349609°		 ← 1 169.44 m →
1 366 589 m²		 N 76.153479°
W 98.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22686767578125 y=0.16436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22686767578125 × 213)
    floor (0.22686767578125 × 8192)
    floor (1858.5)     		tx = 1858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16436767578125 × 213)
    floor (0.16436767578125 × 8192)
    floor (1346.5)     		ty = 1346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1858 / 1346 ti = "13/1858/1346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1858/1346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1858 ÷ 213
    1858 ÷ 8192     		x = 0.226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1346 ÷ 213
    1346 ÷ 8192     		y = 0.164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.54638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71652450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164306640625 × 2 - 1) × π
    0.67138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71652450} λ = -1.71652450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10922358328247))-π/2
    2×atan(8.24183969767421)-π/2
    2×1.45005438469797-π/2
    2.90010876939593-1.57079632675     		φ = 1.32931244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71652450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32931244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.163992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1858 KachelY 1346 -1.71652450 1.32931244 -98.349609 76.163992
    Oben rechts KachelX + 1 1859 KachelY 1346 -1.71575751 1.32931244 -98.305664 76.163992
    Unten links KachelX 1858 KachelY + 1 1347 -1.71652450 1.32912895 -98.349609 76.153479
    Unten rechts KachelX + 1 1859 KachelY + 1 1347 -1.71575751 1.32912895 -98.305664 76.153479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32931244-1.32912895) × R
    0.000183489999999953 × 6371000     		dl = 1169.0147899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32931244-1.32912895) × R
    0.000183489999999953 × 6371000     		dr = 1169.0147899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71652450--1.71575751) × cos(1.32931244) × R
    0.000766990000000023 × 0.239143719791403 × 6371000     		do = 1168.57418210637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71652450--1.71575751) × cos(1.32912895) × R
    0.000766990000000023 × 0.239321881652105 × 6371000     		du = 1169.44476884322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32931244)-sin(1.32912895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239143719791403-0.239321881652105)×R²
    abs(-1.71575751--1.71652450)×0.000178161860701909×R²
    0.000766990000000023×0.000178161860701909×6371000²
    0.000766990000000023×0.000178161860701909×40589641000000     		ar = 1366589.37031339m²