Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18579 / 15319
↖ ↑ ↗
← N 11.619955°
E 24.114990°		 ← 1 196.60 m → N 11.619955°
E 24.125977°		 →
↑
1 196.60 m
↓
↑
1 196.60 m
↓
N 11.609193°
E 24.114990°		 ← 1 196.65 m →
1 431 883 m²		 N 11.609193°
E 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567001342773438 y=0.467514038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567001342773438 × 215)
    floor (0.567001342773438 × 32768)
    floor (18579.5)     		tx = 18579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467514038085938 × 215)
    floor (0.467514038085938 × 32768)
    floor (15319.5)     		ty = 15319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18579 / 15319 ti = "15/18579/15319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18579/15319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18579 ÷ 215
    18579 ÷ 32768     		x = 0.566986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15319 ÷ 215
    15319 ÷ 32768     		y = 0.467498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566986083984375 × 2 - 1) × π
    0.13397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42088598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467498779296875 × 2 - 1) × π
    0.06500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.204211192381439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42088598} λ = 0.42088598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.204211192381439))-π/2
    2×atan(1.22655716563333)-π/2
    2×0.88680139832321-π/2
    1.77360279664642-1.57079632675     		φ = 0.20280647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42088598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.114990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20280647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.619955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18579 KachelY 15319 0.42088598 0.20280647 24.114990 11.619955
    Oben rechts KachelX + 1 18580 KachelY 15319 0.42107773 0.20280647 24.125977 11.619955
    Unten links KachelX 18579 KachelY + 1 15320 0.42088598 0.20261865 24.114990 11.609193
    Unten rechts KachelX + 1 18580 KachelY + 1 15320 0.42107773 0.20261865 24.125977 11.609193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20280647-0.20261865) × R
    0.000187819999999977 × 6371000     		dl = 1196.60121999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20280647-0.20261865) × R
    0.000187819999999977 × 6371000     		dr = 1196.60121999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42088598-0.42107773) × cos(0.20280647) × R
    0.000191749999999991 × 0.979505159422509 × 6371000     		do = 1196.60194832799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42088598-0.42107773) × cos(0.20261865) × R
    0.000191749999999991 × 0.979542972675751 × 6371000     		du = 1196.64814248232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20280647)-sin(0.20261865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979505159422509-0.979542972675751)×R²
    abs(0.42107773-0.42088598)×3.78132532424802e-05×R²
    0.000191749999999991×3.78132532424802e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.78132532424802e-05×40589641000000     		ar = 1431882.99342353m²