Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18578 / 19666
↖ ↑ ↗
← S 33.888657°
E 24.104004°		 ← 1 014.11 m → S 33.888657°
E 24.114990°		 →
↑
1 014.07 m
↓
↑
1 014.07 m
↓
S 33.897777°
E 24.104004°		 ← 1 014 m →
1 028 326 m²		 S 33.897777°
E 24.114990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566970825195312 y=0.600173950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566970825195312 × 215)
    floor (0.566970825195312 × 32768)
    floor (18578.5)     		tx = 18578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600173950195312 × 215)
    floor (0.600173950195312 × 32768)
    floor (19666.5)     		ty = 19666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18578 / 19666 ti = "15/18578/19666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18578/19666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18578 ÷ 215
    18578 ÷ 32768     		x = 0.56695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19666 ÷ 215
    19666 ÷ 32768     		y = 0.60015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56695556640625 × 2 - 1) × π
    0.1339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42069423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.2003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.629315618212097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42069423} λ = 0.42069423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629315618212097))-π/2
    2×atan(0.532956421891608)-π/2
    2×0.489663837166252-π/2
    0.979327674332503-1.57079632675     		φ = -0.59146865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42069423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59146865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.888657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18578 KachelY 19666 0.42069423 -0.59146865 24.104004 -33.888657
    Oben rechts KachelX + 1 18579 KachelY 19666 0.42088598 -0.59146865 24.114990 -33.888657
    Unten links KachelX 18578 KachelY + 1 19667 0.42069423 -0.59162782 24.104004 -33.897777
    Unten rechts KachelX + 1 18579 KachelY + 1 19667 0.42088598 -0.59162782 24.114990 -33.897777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59146865--0.59162782) × R
    0.000159169999999986 × 6371000     		dl = 1014.07206999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59146865--0.59162782) × R
    0.000159169999999986 × 6371000     		dr = 1014.07206999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42069423-0.42088598) × cos(-0.59146865) × R
    0.000191749999999991 × 0.83012268363615 × 6371000     		do = 1014.1104526452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42069423-0.42088598) × cos(-0.59162782) × R
    0.000191749999999991 × 0.830033922987601 × 6371000     		du = 1014.00201915308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59146865)-sin(-0.59162782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83012268363615-0.830033922987601)×R²
    abs(0.42088598-0.42069423)×8.87606485486803e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87606485486803e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87606485486803e-05×40589641000000     		ar = 1028326.10840563m²