Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18577 / 51502
↖ ↑ ↗
← S 71.155843°
W 77.953491°		 ← 197.30 m → S 71.155843°
W 77.947998°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
S 71.157617°
W 77.953491°		 ← 197.28 m →
38 915 m²		 S 71.157617°
W 77.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283470153808594 y=0.785865783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283470153808594 × 216)
    floor (0.283470153808594 × 65536)
    floor (18577.5)     		tx = 18577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785865783691406 × 216)
    floor (0.785865783691406 × 65536)
    floor (51502.5)     		ty = 51502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18577 / 51502 ti = "16/18577/51502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18577/51502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18577 ÷ 216
    18577 ÷ 65536     		x = 0.283462524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51502 ÷ 216
    51502 ÷ 65536     		y = 0.785858154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283462524414062 × 2 - 1) × π
    -0.433074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36054509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785858154296875 × 2 - 1) × π
    -0.57171630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79609975496426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36054509} λ = -1.36054509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79609975496426))-π/2
    2×atan(0.165944853281932)-π/2
    2×0.164446290400268-π/2
    0.328892580800536-1.57079632675     		φ = -1.24190375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36054509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.953491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24190375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.155843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18577 KachelY 51502 -1.36054509 -1.24190375 -77.953491 -71.155843
    Oben rechts KachelX + 1 18578 KachelY 51502 -1.36044921 -1.24190375 -77.947998 -71.155843
    Unten links KachelX 18577 KachelY + 1 51503 -1.36054509 -1.24193471 -77.953491 -71.157617
    Unten rechts KachelX + 1 18578 KachelY + 1 51503 -1.36044921 -1.24193471 -77.947998 -71.157617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24190375--1.24193471) × R
    3.09599999999133e-05 × 6371000     		dl = 197.246159999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24190375--1.24193471) × R
    3.09599999999133e-05 × 6371000     		dr = 197.246159999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36054509--1.36044921) × cos(-1.24190375) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322995160663854 × 6371000     		do = 197.302071924224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36054509--1.36044921) × cos(-1.24193471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322965859945985 × 6371000     		du = 197.284173537348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24190375)-sin(-1.24193471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322995160663854-0.322965859945985)×R²
    abs(-1.36044921--1.36054509)×2.93007178691629e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93007178691629e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93007178691629e-05×40589641000000     		ar = 38915.3108562208m²