Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18576 / 51504
↖ ↑ ↗
← S 71.159391°
W 77.958984°		 ← 197.25 m → S 71.159391°
W 77.953491°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
S 71.161165°
W 77.958984°		 ← 197.23 m →
38 904 m²		 S 71.161165°
W 77.953491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283454895019531 y=0.785896301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283454895019531 × 216)
    floor (0.283454895019531 × 65536)
    floor (18576.5)     		tx = 18576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785896301269531 × 216)
    floor (0.785896301269531 × 65536)
    floor (51504.5)     		ty = 51504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18576 / 51504 ti = "16/18576/51504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18576/51504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18576 ÷ 216
    18576 ÷ 65536     		x = 0.283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51504 ÷ 216
    51504 ÷ 65536     		y = 0.785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.43310546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36064096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36064096} λ = -1.36064096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79629150256274))-π/2
    2×atan(0.165913036805299)-π/2
    2×0.164415326436336-π/2
    0.328830652872672-1.57079632675     		φ = -1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36064096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18576 KachelY 51504 -1.36064096 -1.24196567 -77.958984 -71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 18577 KachelY 51504 -1.36054509 -1.24196567 -77.953491 -71.159391
    Unten links KachelX 18576 KachelY + 1 51505 -1.36064096 -1.24199663 -77.958984 -71.161165
    Unten rechts KachelX + 1 18577 KachelY + 1 51505 -1.36054509 -1.24199663 -77.953491 -71.161165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24196567--1.24199663) × R
    3.09600000001353e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24196567--1.24199663) × R
    3.09600000001353e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36064096--1.36054509) × cos(-1.24196567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 197.245700673328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36064096--1.36054509) × cos(-1.24199663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322907257581565 × 6371000     		du = 197.227803775056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24196567)-sin(-1.24199663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.322907257581565)×R²
    abs(-1.36054509--1.36064096)×2.93013369808137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93013369808137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93013369808137e-05×40589641000000     		ar = 38904.1919899622m²