Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18576 / 19599
↖ ↑ ↗
← S 33.275436°
E 24.082031°		 ← 1 021.29 m → S 33.275436°
E 24.093017°		 →
↑
1 021.27 m
↓
↑
1 021.27 m
↓
S 33.284620°
E 24.082031°		 ← 1 021.18 m →
1 042 959 m²		 S 33.284620°
E 24.093017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566909790039062 y=0.598129272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566909790039062 × 215)
    floor (0.566909790039062 × 32768)
    floor (18576.5)     		tx = 18576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598129272460938 × 215)
    floor (0.598129272460938 × 32768)
    floor (19599.5)     		ty = 19599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18576 / 19599 ti = "15/18576/19599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18576/19599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18576 ÷ 215
    18576 ÷ 32768     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19599 ÷ 215
    19599 ÷ 32768     		y = 0.598114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.19622802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.616468529113922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616468529113922))-π/2
    2×atan(0.53984753109618)-π/2
    2×0.49501520940919-π/2
    0.990030418818379-1.57079632675     		φ = -0.58076591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58076591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.275436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18576 KachelY 19599 0.42031074 -0.58076591 24.082031 -33.275436
    Oben rechts KachelX + 1 18577 KachelY 19599 0.42050248 -0.58076591 24.093017 -33.275436
    Unten links KachelX 18576 KachelY + 1 19600 0.42031074 -0.58092621 24.082031 -33.284620
    Unten rechts KachelX + 1 18577 KachelY + 1 19600 0.42050248 -0.58092621 24.093017 -33.284620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58076591--0.58092621) × R
    0.000160300000000002 × 6371000     		dl = 1021.27130000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58076591--0.58092621) × R
    0.000160300000000002 × 6371000     		dr = 1021.27130000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42050248) × cos(-0.58076591) × R
    0.000191739999999996 × 0.836042667600731 × 6371000     		do = 1021.28927313738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42050248) × cos(-0.58092621) × R
    0.000191739999999996 × 0.835954705951289 × 6371000     		du = 1021.18182133797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58076591)-sin(-0.58092621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836042667600731-0.835954705951289)×R²
    abs(0.42050248-0.42031074)×8.79616494420254e-05×R²
    0.000191739999999996×8.79616494420254e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.79616494420254e-05×40589641000000     		ar = 1042958.55716678m²