Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18574 / 51342
↖ ↑ ↗
← S 70.869891°
W 77.969971°		 ← 200.18 m → S 70.869891°
W 77.964477°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
S 70.871691°
W 77.969971°		 ← 200.17 m →
40 071 m²		 S 70.871691°
W 77.964477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283424377441406 y=0.783424377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283424377441406 × 216)
    floor (0.283424377441406 × 65536)
    floor (18574.5)     		tx = 18574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783424377441406 × 216)
    floor (0.783424377441406 × 65536)
    floor (51342.5)     		ty = 51342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18574 / 51342 ti = "16/18574/51342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18574/51342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18574 ÷ 216
    18574 ÷ 65536     		x = 0.283416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51342 ÷ 216
    51342 ÷ 65536     		y = 0.783416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.43316650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36083271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.56683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78075994708585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36083271} λ = -1.36083271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78075994708585))-π/2
    2×atan(0.168510039883599)-π/2
    2×0.166941691834244-π/2
    0.333883383668488-1.57079632675     		φ = -1.23691294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36083271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23691294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.869891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18574 KachelY 51342 -1.36083271 -1.23691294 -77.969971 -70.869891
    Oben rechts KachelX + 1 18575 KachelY 51342 -1.36073683 -1.23691294 -77.964477 -70.869891
    Unten links KachelX 18574 KachelY + 1 51343 -1.36083271 -1.23694436 -77.969971 -70.871691
    Unten rechts KachelX + 1 18575 KachelY + 1 51343 -1.36073683 -1.23694436 -77.964477 -70.871691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23691294--1.23694436) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23691294--1.23694436) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36083271--1.36073683) × cos(-1.23691294) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.327714424111472 × 6371000     		do = 200.184840985709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36083271--1.36073683) × cos(-1.23694436) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.327684739061754 × 6371000     		du = 200.166707829155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23691294)-sin(-1.23694436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327714424111472-0.327684739061754)×R²
    abs(-1.36073683--1.36083271)×2.96850497183976e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.96850497183976e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.96850497183976e-05×40589641000000     		ar = 40070.5499654681m²