Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18573 / 14063
↖ ↑ ↗
← N 24.696934°
E 24.049072°		 ← 1 109.90 m → N 24.696934°
E 24.060059°		 →
↑
1 109.96 m
↓
↑
1 109.96 m
↓
N 24.686952°
E 24.049072°		 ← 1 109.99 m →
1 231 985 m²		 N 24.686952°
E 24.060059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566818237304688 y=0.429183959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566818237304688 × 215)
    floor (0.566818237304688 × 32768)
    floor (18573.5)     		tx = 18573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429183959960938 × 215)
    floor (0.429183959960938 × 32768)
    floor (14063.5)     		ty = 14063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18573 / 14063 ti = "15/18573/14063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18573/14063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18573 ÷ 215
    18573 ÷ 32768     		x = 0.566802978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14063 ÷ 215
    14063 ÷ 32768     		y = 0.429168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566802978515625 × 2 - 1) × π
    0.13360595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41973549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429168701171875 × 2 - 1) × π
    0.14166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.445046176072601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41973549} λ = 0.41973549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445046176072601))-π/2
    2×atan(1.56056225480493)-π/2
    2×1.00091957209096-π/2
    2.00183914418192-1.57079632675     		φ = 0.43104282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41973549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.049072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43104282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.696934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18573 KachelY 14063 0.41973549 0.43104282 24.049072 24.696934
    Oben rechts KachelX + 1 18574 KachelY 14063 0.41992724 0.43104282 24.060059 24.696934
    Unten links KachelX 18573 KachelY + 1 14064 0.41973549 0.43086860 24.049072 24.686952
    Unten rechts KachelX + 1 18574 KachelY + 1 14064 0.41992724 0.43086860 24.060059 24.686952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43104282-0.43086860) × R
    0.000174220000000003 × 6371000     		dl = 1109.95562000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43104282-0.43086860) × R
    0.000174220000000003 × 6371000     		dr = 1109.95562000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41973549-0.41992724) × cos(0.43104282) × R
    0.000191749999999991 × 0.908530534305426 × 6371000     		do = 1109.89656053092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41973549-0.41992724) × cos(0.43086860) × R
    0.000191749999999991 × 0.90860331284959 × 6371000     		du = 1109.98546965703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43104282)-sin(0.43086860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908530534305426-0.90860331284959)×R²
    abs(0.41992724-0.41973549)×7.27785441638762e-05×R²
    0.000191749999999991×7.27785441638762e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.27785441638762e-05×40589641000000     		ar = 1231985.270688m²