Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18572 / 14062
↖ ↑ ↗
← N 24.706915°
E 24.038086°		 ← 1 109.75 m → N 24.706915°
E 24.049072°		 →
↑
1 109.83 m
↓
↑
1 109.83 m
↓
N 24.696934°
E 24.038086°		 ← 1 109.84 m →
1 231 681 m²		 N 24.696934°
E 24.049072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566787719726562 y=0.429153442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566787719726562 × 215)
    floor (0.566787719726562 × 32768)
    floor (18572.5)     		tx = 18572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429153442382812 × 215)
    floor (0.429153442382812 × 32768)
    floor (14062.5)     		ty = 14062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18572 / 14062 ti = "15/18572/14062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18572/14062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18572 ÷ 215
    18572 ÷ 32768     		x = 0.5667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14062 ÷ 215
    14062 ÷ 32768     		y = 0.42913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5667724609375 × 2 - 1) × π
    0.133544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41954375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42913818359375 × 2 - 1) × π
    0.1417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.445237923671082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41954375} λ = 0.41954375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445237923671082))-π/2
    2×atan(1.56086151756011)-π/2
    2×1.00100667287556-π/2
    2.00201334575111-1.57079632675     		φ = 0.43121702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41954375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.038086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43121702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.706915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18572 KachelY 14062 0.41954375 0.43121702 24.038086 24.706915
    Oben rechts KachelX + 1 18573 KachelY 14062 0.41973549 0.43121702 24.049072 24.706915
    Unten links KachelX 18572 KachelY + 1 14063 0.41954375 0.43104282 24.038086 24.696934
    Unten rechts KachelX + 1 18573 KachelY + 1 14063 0.41973549 0.43104282 24.049072 24.696934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43121702-0.43104282) × R
    0.000174200000000013 × 6371000     		dl = 1109.82820000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43121702-0.43104282) × R
    0.000174200000000013 × 6371000     		dr = 1109.82820000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41954375-0.41973549) × cos(0.43121702) × R
    0.000191739999999996 × 0.908457736544525 × 6371000     		do = 1109.74975008653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41954375-0.41973549) × cos(0.43104282) × R
    0.000191739999999996 × 0.908530534305426 × 6371000     		du = 1109.83867805061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43121702)-sin(0.43104282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908457736544525-0.908530534305426)×R²
    abs(0.41973549-0.41954375)×7.27977609007446e-05×R²
    0.000191739999999996×7.27977609007446e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.27977609007446e-05×40589641000000     		ar = 1231680.91808526m²