Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18570 / 19670
↖ ↑ ↗
← S 33.925130°
E 24.016113°		 ← 1 013.68 m → S 33.925130°
E 24.027100°		 →
↑
1 013.63 m
↓
↑
1 013.63 m
↓
S 33.934245°
E 24.016113°		 ← 1 013.57 m →
1 027 434 m²		 S 33.934245°
E 24.027100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566726684570312 y=0.600296020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566726684570312 × 215)
    floor (0.566726684570312 × 32768)
    floor (18570.5)     		tx = 18570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600296020507812 × 215)
    floor (0.600296020507812 × 32768)
    floor (19670.5)     		ty = 19670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18570 / 19670 ti = "15/18570/19670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18570/19670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18570 ÷ 215
    18570 ÷ 32768     		x = 0.56671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19670 ÷ 215
    19670 ÷ 32768     		y = 0.60028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56671142578125 × 2 - 1) × π
    0.1334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41916025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.2005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.630082608606018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41916025} λ = 0.41916025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630082608606018))-π/2
    2×atan(0.532547806157841)-π/2
    2×0.489345557188734-π/2
    0.978691114377467-1.57079632675     		φ = -0.59210521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41916025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59210521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.925130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18570 KachelY 19670 0.41916025 -0.59210521 24.016113 -33.925130
    Oben rechts KachelX + 1 18571 KachelY 19670 0.41935200 -0.59210521 24.027100 -33.925130
    Unten links KachelX 18570 KachelY + 1 19671 0.41916025 -0.59226431 24.016113 -33.934245
    Unten rechts KachelX + 1 18571 KachelY + 1 19671 0.41935200 -0.59226431 24.027100 -33.934245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59210521--0.59226431) × R
    0.000159099999999968 × 6371000     		dl = 1013.62609999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59210521--0.59226431) × R
    0.000159099999999968 × 6371000     		dr = 1013.62609999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41916025-0.41935200) × cos(-0.59210521) × R
    0.000191749999999991 × 0.829767581850151 × 6371000     		do = 1013.67664636568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41916025-0.41935200) × cos(-0.59226431) × R
    0.000191749999999991 × 0.829678776191894 × 6371000     		du = 1013.56815788793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59210521)-sin(-0.59226431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829767581850151-0.829678776191894)×R²
    abs(0.41935200-0.41916025)×8.88056582563079e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88056582563079e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88056582563079e-05×40589641000000     		ar = 1027434.12450812m²