Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1857 / 931
↖ ↑ ↗
← N 69.565226°
W 16.787109°		 ← 3 412.15 m → N 69.565226°
W 16.699219°		 →
↑
3 414.60 m
↓
↑
3 414.60 m
↓
N 69.534518°
W 16.787109°		 ← 3 417.06 m →
11 659 506 m²		 N 69.534518°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4534912109375 y=0.2274169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4534912109375 × 212)
    floor (0.4534912109375 × 4096)
    floor (1857.5)     		tx = 1857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2274169921875 × 212)
    floor (0.2274169921875 × 4096)
    floor (931.5)     		ty = 931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1857 / 931 ti = "12/1857/931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1857/931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1857 ÷ 212
    1857 ÷ 4096     		x = 0.453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 931 ÷ 212
    931 ÷ 4096     		y = 0.227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29299033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227294921875 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29299033} λ = -0.29299033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71345654001929))-π/2
    2×atan(5.54810562142545)-π/2
    2×1.39246928182623-π/2
    2.78493856365246-1.57079632675     		φ = 1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29299033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1857 KachelY 931 -0.29299033 1.21414224 -16.787109 69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 1858 KachelY 931 -0.29145635 1.21414224 -16.699219 69.565226
    Unten links KachelX 1857 KachelY + 1 932 -0.29299033 1.21360628 -16.787109 69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 1858 KachelY + 1 932 -0.29145635 1.21360628 -16.699219 69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21414224-1.21360628) × R
    0.000535959999999891 × 6371000     		dl = 3414.60115999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21414224-1.21360628) × R
    0.000535959999999891 × 6371000     		dr = 3414.60115999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29299033--0.29145635) × cos(1.21414224) × R
    0.00153398000000005 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 3412.14872137151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29299033--0.29145635) × cos(1.21360628) × R
    0.00153398000000005 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 3417.05653939196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21414224)-sin(1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.349643019707478)×R²
    abs(-0.29145635--0.29299033)×0.000502182007544483×R²
    0.00153398000000005×0.000502182007544483×6371000²
    0.00153398000000005×0.000502182007544483×40589641000000     		ar = 11659506.381736m²