Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1857 / 2651
↖ ↑ ↗
← S 46.739861°
W 16.787109°		 ← 6 697.54 m → S 46.739861°
W 16.699219°		 →
↑
6 693.82 m
↓
↑
6 693.82 m
↓
S 46.800060°
W 16.787109°		 ← 6 690.06 m →
44 807 107 m²		 S 46.800060°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4534912109375 y=0.6473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4534912109375 × 212)
    floor (0.4534912109375 × 4096)
    floor (1857.5)     		tx = 1857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6473388671875 × 212)
    floor (0.6473388671875 × 4096)
    floor (2651.5)     		ty = 2651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1857 / 2651 ti = "12/1857/2651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1857/2651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1857 ÷ 212
    1857 ÷ 4096     		x = 0.453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2651 ÷ 212
    2651 ÷ 4096     		y = 0.647216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29299033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.29443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.924990415068604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29299033} λ = -0.29299033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924990415068604))-π/2
    2×atan(0.396535219819656)-π/2
    2×0.377515933712603-π/2
    0.755031867425206-1.57079632675     		φ = -0.81576446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29299033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81576446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.739861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1857 KachelY 2651 -0.29299033 -0.81576446 -16.787109 -46.739861
    Oben rechts KachelX + 1 1858 KachelY 2651 -0.29145635 -0.81576446 -16.699219 -46.739861
    Unten links KachelX 1857 KachelY + 1 2652 -0.29299033 -0.81681513 -16.787109 -46.800060
    Unten rechts KachelX + 1 1858 KachelY + 1 2652 -0.29145635 -0.81681513 -16.699219 -46.800060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81576446--0.81681513) × R
    0.00105066999999992 × 6371000     		dl = 6693.81856999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81576446--0.81681513) × R
    0.00105066999999992 × 6371000     		dr = 6693.81856999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29299033--0.29145635) × cos(-0.81576446) × R
    0.00153398000000005 × 0.685311875989394 × 6371000     		do = 6697.54376715917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29299033--0.29145635) × cos(-0.81681513) × R
    0.00153398000000005 × 0.684546347752357 × 6371000     		du = 6690.062269972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81576446)-sin(-0.81681513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685311875989394-0.684546347752357)×R²
    abs(-0.29145635--0.29299033)×0.00076552823703635×R²
    0.00153398000000005×0.00076552823703635×6371000²
    0.00153398000000005×0.00076552823703635×40589641000000     		ar = 44807107.0715039m²