Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1857 / 1711
↖ ↑ ↗
← N 28.381735°
W 16.787109°		 ← 8 598.28 m → N 28.381735°
W 16.699219°		 →
↑
8 601.36 m
↓
↑
8 601.36 m
↓
N 28.304381°
W 16.787109°		 ← 8 604.54 m →
73 983 807 m²		 N 28.304381°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4534912109375 y=0.4178466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4534912109375 × 212)
    floor (0.4534912109375 × 4096)
    floor (1857.5)     		tx = 1857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4178466796875 × 212)
    floor (0.4178466796875 × 4096)
    floor (1711.5)     		ty = 1711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1857 / 1711 ti = "12/1857/1711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1857/1711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1857 ÷ 212
    1857 ÷ 4096     		x = 0.453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1711 ÷ 212
    1711 ÷ 4096     		y = 0.417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29299033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.516951525502686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29299033} λ = -0.29299033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516951525502686))-π/2
    2×atan(1.67690783907601)-π/2
    2×1.0330755253574-π/2
    2.0661510507148-1.57079632675     		φ = 0.49535472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29299033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49535472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.381735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1857 KachelY 1711 -0.29299033 0.49535472 -16.787109 28.381735
    Oben rechts KachelX + 1 1858 KachelY 1711 -0.29145635 0.49535472 -16.699219 28.381735
    Unten links KachelX 1857 KachelY + 1 1712 -0.29299033 0.49400464 -16.787109 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 1858 KachelY + 1 1712 -0.29145635 0.49400464 -16.699219 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49535472-0.49400464) × R
    0.00135008000000003 × 6371000     		dl = 8601.3596800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49535472-0.49400464) × R
    0.00135008000000003 × 6371000     		dr = 8601.3596800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29299033--0.29145635) × cos(0.49535472) × R
    0.00153398000000005 × 0.879800151250806 × 6371000     		do = 8598.27507125635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29299033--0.29145635) × cos(0.49400464) × R
    0.00153398000000005 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 8604.53906799183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49535472)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879800151250806-0.880441101351802)×R²
    abs(-0.29145635--0.29299033)×0.000640950100995852×R²
    0.00153398000000005×0.000640950100995852×6371000²
    0.00153398000000005×0.000640950100995852×40589641000000     		ar = 73983807.1975555m²