Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18568 / 15300
↖ ↑ ↗
← N 11.824341°
E 23.994141°		 ← 1 195.65 m → N 11.824341°
E 24.005127°		 →
↑
1 195.71 m
↓
↑
1 195.71 m
↓
N 11.813588°
E 23.994141°		 ← 1 195.70 m →
1 429 683 m²		 N 11.813588°
E 24.005127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566665649414062 y=0.466934204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566665649414062 × 215)
    floor (0.566665649414062 × 32768)
    floor (18568.5)     		tx = 18568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466934204101562 × 215)
    floor (0.466934204101562 × 32768)
    floor (15300.5)     		ty = 15300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18568 / 15300 ti = "15/18568/15300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18568/15300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18568 ÷ 215
    18568 ÷ 32768     		x = 0.566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15300 ÷ 215
    15300 ÷ 32768     		y = 0.4669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4669189453125 × 2 - 1) × π
    0.066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.207854396752563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41877676} λ = 0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207854396752563))-π/2
    2×atan(1.23103391396351)-π/2
    2×0.8885850087812-π/2
    1.7771700175624-1.57079632675     		φ = 0.20637369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20637369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.824341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18568 KachelY 15300 0.41877676 0.20637369 23.994141 11.824341
    Oben rechts KachelX + 1 18569 KachelY 15300 0.41896850 0.20637369 24.005127 11.824341
    Unten links KachelX 18568 KachelY + 1 15301 0.41877676 0.20618601 23.994141 11.813588
    Unten rechts KachelX + 1 18569 KachelY + 1 15301 0.41896850 0.20618601 24.005127 11.813588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20637369-0.20618601) × R
    0.000187679999999996 × 6371000     		dl = 1195.70927999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20637369-0.20618601) × R
    0.000187679999999996 × 6371000     		dr = 1195.70927999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41877676-0.41896850) × cos(0.20637369) × R
    0.000191739999999996 × 0.978780422679815 × 6371000     		do = 1195.6542233765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41877676-0.41896850) × cos(0.20618601) × R
    0.000191739999999996 × 0.978818863305624 × 6371000     		du = 1195.70118150473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20637369)-sin(0.20618601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978780422679815-0.978818863305624)×R²
    abs(0.41896850-0.41877676)×3.84406258090442e-05×R²
    0.000191739999999996×3.84406258090442e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.84406258090442e-05×40589641000000     		ar = 1429682.92889394m²