Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18568 / 15224
↖ ↑ ↗
← N 12.640338°
E 23.994141°		 ← 1 191.97 m → N 12.640338°
E 24.005127°		 →
↑
1 192.01 m
↓
↑
1 192.01 m
↓
N 12.629618°
E 23.994141°		 ← 1 192.02 m →
1 420 873 m²		 N 12.629618°
E 24.005127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566665649414062 y=0.464614868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566665649414062 × 215)
    floor (0.566665649414062 × 32768)
    floor (18568.5)     		tx = 18568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464614868164062 × 215)
    floor (0.464614868164062 × 32768)
    floor (15224.5)     		ty = 15224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18568 / 15224 ti = "15/18568/15224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18568/15224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18568 ÷ 215
    18568 ÷ 32768     		x = 0.566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15224 ÷ 215
    15224 ÷ 32768     		y = 0.464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    0.07080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.222427214237061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41877676} λ = 0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.222427214237061))-π/2
    2×atan(1.24910489928875)-π/2
    2×0.895705924404568-π/2
    1.79141184880914-1.57079632675     		φ = 0.22061552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22061552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.640338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18568 KachelY 15224 0.41877676 0.22061552 23.994141 12.640338
    Oben rechts KachelX + 1 18569 KachelY 15224 0.41896850 0.22061552 24.005127 12.640338
    Unten links KachelX 18568 KachelY + 1 15225 0.41877676 0.22042842 23.994141 12.629618
    Unten rechts KachelX + 1 18569 KachelY + 1 15225 0.41896850 0.22042842 24.005127 12.629618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22061552-0.22042842) × R
    0.000187099999999996 × 6371000     		dl = 1192.01409999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22061552-0.22042842) × R
    0.000187099999999996 × 6371000     		dr = 1192.01409999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41877676-0.41896850) × cos(0.22061552) × R
    0.000191739999999996 × 0.975762939774864 × 6371000     		do = 1191.96814006744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41877676-0.41896850) × cos(0.22042842) × R
    0.000191739999999996 × 0.975803865838434 × 6371000     		du = 1192.01813434565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22061552)-sin(0.22042842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975762939774864-0.975803865838434)×R²
    abs(0.41896850-0.41877676)×4.09260635699793e-05×R²
    0.000191739999999996×4.09260635699793e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.09260635699793e-05×40589641000000     		ar = 1420872.63079831m²