Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18567 / 15299
↖ ↑ ↗
← N 11.835095°
E 23.983154°		 ← 1 195.67 m → N 11.835095°
E 23.994141°		 →
↑
1 195.71 m
↓
↑
1 195.71 m
↓
N 11.824341°
E 23.983154°		 ← 1 195.72 m →
1 429 701 m²		 N 11.824341°
E 23.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566635131835938 y=0.466903686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566635131835938 × 215)
    floor (0.566635131835938 × 32768)
    floor (18567.5)     		tx = 18567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466903686523438 × 215)
    floor (0.466903686523438 × 32768)
    floor (15299.5)     		ty = 15299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18567 / 15299 ti = "15/18567/15299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18567/15299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18567 ÷ 215
    18567 ÷ 32768     		x = 0.566619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15299 ÷ 215
    15299 ÷ 32768     		y = 0.466888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566619873046875 × 2 - 1) × π
    0.13323974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41858501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466888427734375 × 2 - 1) × π
    0.06622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.208046144351044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41858501} λ = 0.41858501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208046144351044))-π/2
    2×atan(1.23126998439241)-π/2
    2×0.888678846334863-π/2
    1.77735769266973-1.57079632675     		φ = 0.20656137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41858501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.983154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20656137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.835095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18567 KachelY 15299 0.41858501 0.20656137 23.983154 11.835095
    Oben rechts KachelX + 1 18568 KachelY 15299 0.41877676 0.20656137 23.994141 11.835095
    Unten links KachelX 18567 KachelY + 1 15300 0.41858501 0.20637369 23.983154 11.824341
    Unten rechts KachelX + 1 18568 KachelY + 1 15300 0.41877676 0.20637369 23.994141 11.824341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20656137-0.20637369) × R
    0.000187679999999996 × 6371000     		dl = 1195.70927999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20656137-0.20637369) × R
    0.000187679999999996 × 6371000     		dr = 1195.70927999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41858501-0.41877676) × cos(0.20656137) × R
    0.000191750000000046 × 0.978741947577657 × 6371000     		do = 1195.6695787826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41858501-0.41877676) × cos(0.20637369) × R
    0.000191750000000046 × 0.978780422679815 × 6371000     		du = 1195.71658147754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20656137)-sin(0.20637369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978741947577657-0.978780422679815)×R²
    abs(0.41877676-0.41858501)×3.8475102157709e-05×R²
    0.000191750000000046×3.8475102157709e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.8475102157709e-05×40589641000000     		ar = 1429701.31613996m²