Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18567 / 15229
↖ ↑ ↗
← N 12.586732°
E 23.983154°		 ← 1 192.28 m → N 12.586732°
E 23.994141°		 →
↑
1 192.27 m
↓
↑
1 192.27 m
↓
N 12.576010°
E 23.983154°		 ← 1 192.33 m →
1 421 548 m²		 N 12.576010°
E 23.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566635131835938 y=0.464767456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566635131835938 × 215)
    floor (0.566635131835938 × 32768)
    floor (18567.5)     		tx = 18567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464767456054688 × 215)
    floor (0.464767456054688 × 32768)
    floor (15229.5)     		ty = 15229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18567 / 15229 ti = "15/18567/15229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18567/15229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18567 ÷ 215
    18567 ÷ 32768     		x = 0.566619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15229 ÷ 215
    15229 ÷ 32768     		y = 0.464752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566619873046875 × 2 - 1) × π
    0.13323974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41858501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464752197265625 × 2 - 1) × π
    0.07049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.221468476244659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41858501} λ = 0.41858501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.221468476244659))-π/2
    2×atan(1.2479079088571)-π/2
    2×0.895238124901386-π/2
    1.79047624980277-1.57079632675     		φ = 0.21967992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41858501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.983154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21967992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.586732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18567 KachelY 15229 0.41858501 0.21967992 23.983154 12.586732
    Oben rechts KachelX + 1 18568 KachelY 15229 0.41877676 0.21967992 23.994141 12.586732
    Unten links KachelX 18567 KachelY + 1 15230 0.41858501 0.21949278 23.983154 12.576010
    Unten rechts KachelX + 1 18568 KachelY + 1 15230 0.41877676 0.21949278 23.994141 12.576010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21967992-0.21949278) × R
    0.000187140000000002 × 6371000     		dl = 1192.26894000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21967992-0.21949278) × R
    0.000187140000000002 × 6371000     		dr = 1192.26894000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41858501-0.41877676) × cos(0.21967992) × R
    0.000191750000000046 × 0.975967250276233 × 6371000     		do = 1192.27989965231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41858501-0.41877676) × cos(0.21949278) × R
    0.000191750000000046 × 0.976008014219674 × 6371000     		du = 1192.3296984856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21967992)-sin(0.21949278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975967250276233-0.976008014219674)×R²
    abs(0.41877676-0.41858501)×4.07639434406581e-05×R²
    0.000191750000000046×4.07639434406581e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.07639434406581e-05×40589641000000     		ar = 1421547.98309162m²