Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18566 / 51330
↖ ↑ ↗
← S 70.848277°
W 78.013916°		 ← 200.40 m → S 70.848277°
W 78.008423°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
S 70.850079°
W 78.013916°		 ← 200.38 m →
40 152 m²		 S 70.850079°
W 78.008423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283302307128906 y=0.783241271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283302307128906 × 216)
    floor (0.283302307128906 × 65536)
    floor (18566.5)     		tx = 18566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783241271972656 × 216)
    floor (0.783241271972656 × 65536)
    floor (51330.5)     		ty = 51330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18566 / 51330 ti = "16/18566/51330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18566/51330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18566 ÷ 216
    18566 ÷ 65536     		x = 0.283294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51330 ÷ 216
    51330 ÷ 65536     		y = 0.783233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.43341064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36159970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.56646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77960946149496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36159970} λ = -1.36159970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77960946149496))-π/2
    2×atan(0.168704019820568)-π/2
    2×0.167130309680221-π/2
    0.334260619360443-1.57079632675     		φ = -1.23653571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36159970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.013916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23653571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.848277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18566 KachelY 51330 -1.36159970 -1.23653571 -78.013916 -70.848277
    Oben rechts KachelX + 1 18567 KachelY 51330 -1.36150382 -1.23653571 -78.008423 -70.848277
    Unten links KachelX 18566 KachelY + 1 51331 -1.36159970 -1.23656716 -78.013916 -70.850079
    Unten rechts KachelX + 1 18567 KachelY + 1 51331 -1.36150382 -1.23656716 -78.008423 -70.850079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23653571--1.23656716) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dl = 200.36795000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23653571--1.23656716) × R
    3.14500000000439e-05 × 6371000     		dr = 200.36795000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36159970--1.36150382) × cos(-1.23653571) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32807079894886 × 6371000     		do = 200.402533082562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36159970--1.36150382) × cos(-1.23656716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328041089445431 × 6371000     		du = 200.384384988423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23653571)-sin(-1.23656716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32807079894886-0.328041089445431)×R²
    abs(-1.36150382--1.36159970)×2.97095034287875e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97095034287875e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97095034287875e-05×40589641000000     		ar = 40152.4265834179m²