Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18566 / 51326
↖ ↑ ↗
← S 70.841067°
W 78.013916°		 ← 200.48 m → S 70.841067°
W 78.008423°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 70.842870°
W 78.013916°		 ← 200.46 m →
40 180 m²		 S 70.842870°
W 78.008423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283302307128906 y=0.783180236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283302307128906 × 216)
    floor (0.283302307128906 × 65536)
    floor (18566.5)     		tx = 18566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783180236816406 × 216)
    floor (0.783180236816406 × 65536)
    floor (51326.5)     		ty = 51326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18566 / 51326 ti = "16/18566/51326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18566/51326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18566 ÷ 216
    18566 ÷ 65536     		x = 0.283294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51326 ÷ 216
    51326 ÷ 65536     		y = 0.783172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.43341064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36159970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.56634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.779225966298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36159970} λ = -1.36159970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.779225966298))-π/2
    2×atan(0.168768729408993)-π/2
    2×0.167193227864345-π/2
    0.334386455728691-1.57079632675     		φ = -1.23640987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36159970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.013916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23640987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.841067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18566 KachelY 51326 -1.36159970 -1.23640987 -78.013916 -70.841067
    Oben rechts KachelX + 1 18567 KachelY 51326 -1.36150382 -1.23640987 -78.008423 -70.841067
    Unten links KachelX 18566 KachelY + 1 51327 -1.36159970 -1.23644133 -78.013916 -70.842870
    Unten rechts KachelX + 1 18567 KachelY + 1 51327 -1.36150382 -1.23644133 -78.008423 -70.842870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23640987--1.23644133) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23640987--1.23644133) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36159970--1.36150382) × cos(-1.23640987) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328189671501799 × 6371000     		do = 200.475146557456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36159970--1.36150382) × cos(-1.23644133) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32815995385072 × 6371000     		du = 200.456993486313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23640987)-sin(-1.23644133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328189671501799-0.32815995385072)×R²
    abs(-1.36150382--1.36159970)×2.97176510786756e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97176510786756e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97176510786756e-05×40589641000000     		ar = 40179.7471916242m²