Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18566 / 15226
↖ ↑ ↗
← N 12.618898°
E 23.972168°		 ← 1 192.13 m → N 12.618898°
E 23.983154°		 →
↑
1 192.14 m
↓
↑
1 192.14 m
↓
N 12.608176°
E 23.972168°		 ← 1 192.18 m →
1 421 218 m²		 N 12.608176°
E 23.983154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566604614257812 y=0.464675903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566604614257812 × 215)
    floor (0.566604614257812 × 32768)
    floor (18566.5)     		tx = 18566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464675903320312 × 215)
    floor (0.464675903320312 × 32768)
    floor (15226.5)     		ty = 15226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18566 / 15226 ti = "15/18566/15226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18566/15226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18566 ÷ 215
    18566 ÷ 32768     		x = 0.56658935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15226 ÷ 215
    15226 ÷ 32768     		y = 0.46466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56658935546875 × 2 - 1) × π
    0.1331787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41839326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46466064453125 × 2 - 1) × π
    0.0706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.2220437190401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41839326} λ = 0.41839326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2220437190401))-π/2
    2×atan(1.24862596539967)-π/2
    2×0.895518816357654-π/2
    1.79103763271531-1.57079632675     		φ = 0.22024131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41839326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.972168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22024131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.618898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18566 KachelY 15226 0.41839326 0.22024131 23.972168 12.618898
    Oben rechts KachelX + 1 18567 KachelY 15226 0.41858501 0.22024131 23.983154 12.618898
    Unten links KachelX 18566 KachelY + 1 15227 0.41839326 0.22005419 23.972168 12.608176
    Unten rechts KachelX + 1 18567 KachelY + 1 15227 0.41858501 0.22005419 23.983154 12.608176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22024131-0.22005419) × R
    0.000187119999999985 × 6371000     		dl = 1192.1415199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22024131-0.22005419) × R
    0.000187119999999985 × 6371000     		dr = 1192.1415199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41839326-0.41858501) × cos(0.22024131) × R
    0.000191749999999991 × 0.975844759927265 × 6371000     		do = 1192.13026063392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41839326-0.41858501) × cos(0.22005419) × R
    0.000191749999999991 × 0.975885622034448 × 6371000     		du = 1192.18017938789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22024131)-sin(0.22005419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975844759927265-0.975885622034448)×R²
    abs(0.41858501-0.41839326)×4.0862107182682e-05×R²
    0.000191749999999991×4.0862107182682e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.0862107182682e-05×40589641000000     		ar = 1421217.74020651m²