Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18565 / 19069
↖ ↑ ↗
← S 28.275358°
E 23.961182°		 ← 1 075.87 m → S 28.275358°
E 23.972168°		 →
↑
1 075.81 m
↓
↑
1 075.81 m
↓
S 28.285033°
E 23.961182°		 ← 1 075.78 m →
1 157 381 m²		 S 28.285033°
E 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566574096679688 y=0.581954956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566574096679688 × 215)
    floor (0.566574096679688 × 32768)
    floor (18565.5)     		tx = 18565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581954956054688 × 215)
    floor (0.581954956054688 × 32768)
    floor (19069.5)     		ty = 19069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18565 / 19069 ti = "15/18565/19069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18565/19069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18565 ÷ 215
    18565 ÷ 32768     		x = 0.566558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19069 ÷ 215
    19069 ÷ 32768     		y = 0.581939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566558837890625 × 2 - 1) × π
    0.13311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41820151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581939697265625 × 2 - 1) × π
    -0.16387939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.514842301919403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41820151} λ = 0.41820151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514842301919403))-π/2
    2×atan(0.597594826745082)-π/2
    2×0.538649113804551-π/2
    1.0772982276091-1.57079632675     		φ = -0.49349810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41820151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.961182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49349810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.275358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18565 KachelY 19069 0.41820151 -0.49349810 23.961182 -28.275358
    Oben rechts KachelX + 1 18566 KachelY 19069 0.41839326 -0.49349810 23.972168 -28.275358
    Unten links KachelX 18565 KachelY + 1 19070 0.41820151 -0.49366696 23.961182 -28.285033
    Unten rechts KachelX + 1 18566 KachelY + 1 19070 0.41839326 -0.49366696 23.972168 -28.285033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49349810--0.49366696) × R
    0.000168859999999993 × 6371000     		dl = 1075.80705999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49349810--0.49366696) × R
    0.000168859999999993 × 6371000     		dr = 1075.80705999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41820151-0.41839326) × cos(-0.49349810) × R
    0.000191749999999991 × 0.880681167130915 × 6371000     		do = 1075.87468050288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41820151-0.41839326) × cos(-0.49366696) × R
    0.000191749999999991 × 0.880601163990906 × 6371000     		du = 1075.77694552692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49349810)-sin(-0.49366696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880681167130915-0.880601163990906)×R²
    abs(0.41839326-0.41820151)×8.00031400087775e-05×R²
    0.000191749999999991×8.00031400087775e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.00031400087775e-05×40589641000000     		ar = 1157381.00772147m²