Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18565 / 15236
↖ ↑ ↗
← N 12.511666°
E 23.961182°		 ← 1 192.63 m → N 12.511666°
E 23.972168°		 →
↑
1 192.65 m
↓
↑
1 192.65 m
↓
N 12.500940°
E 23.961182°		 ← 1 192.68 m →
1 422 418 m²		 N 12.500940°
E 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566574096679688 y=0.464981079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566574096679688 × 215)
    floor (0.566574096679688 × 32768)
    floor (18565.5)     		tx = 18565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464981079101562 × 215)
    floor (0.464981079101562 × 32768)
    floor (15236.5)     		ty = 15236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18565 / 15236 ti = "15/18565/15236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18565/15236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18565 ÷ 215
    18565 ÷ 32768     		x = 0.566558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15236 ÷ 215
    15236 ÷ 32768     		y = 0.4649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566558837890625 × 2 - 1) × π
    0.13311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41820151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4649658203125 × 2 - 1) × π
    0.070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.220126243055298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41820151} λ = 0.41820151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220126243055298))-π/2
    2×atan(1.24623404905096)-π/2
    2×0.894583041471778-π/2
    1.78916608294356-1.57079632675     		φ = 0.21836976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41820151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.961182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21836976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.511666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18565 KachelY 15236 0.41820151 0.21836976 23.961182 12.511666
    Oben rechts KachelX + 1 18566 KachelY 15236 0.41839326 0.21836976 23.972168 12.511666
    Unten links KachelX 18565 KachelY + 1 15237 0.41820151 0.21818256 23.961182 12.500940
    Unten rechts KachelX + 1 18566 KachelY + 1 15237 0.41839326 0.21818256 23.972168 12.500940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21836976-0.21818256) × R
    0.000187199999999998 × 6371000     		dl = 1192.65119999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21836976-0.21818256) × R
    0.000187199999999998 × 6371000     		dr = 1192.65119999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41820151-0.41839326) × cos(0.21836976) × R
    0.000191749999999991 × 0.976251919021273 × 6371000     		do = 1192.62766216415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41820151-0.41839326) × cos(0.21818256) × R
    0.000191749999999991 × 0.976292456621225 × 6371000     		du = 1192.67718448735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21836976)-sin(0.21818256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976251919021273-0.976292456621225)×R²
    abs(0.41839326-0.41820151)×4.05375999520396e-05×R²
    0.000191749999999991×4.05375999520396e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.05375999520396e-05×40589641000000     		ar = 1422418.34801631m²