Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18565 / 14101
↖ ↑ ↗
← N 24.317065°
E 23.961182°		 ← 1 113.26 m → N 24.317065°
E 23.972168°		 →
↑
1 113.27 m
↓
↑
1 113.27 m
↓
N 24.307053°
E 23.961182°		 ← 1 113.34 m →
1 239 402 m²		 N 24.307053°
E 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566574096679688 y=0.430343627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566574096679688 × 215)
    floor (0.566574096679688 × 32768)
    floor (18565.5)     		tx = 18565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430343627929688 × 215)
    floor (0.430343627929688 × 32768)
    floor (14101.5)     		ty = 14101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18565 / 14101 ti = "15/18565/14101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18565/14101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18565 ÷ 215
    18565 ÷ 32768     		x = 0.566558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14101 ÷ 215
    14101 ÷ 32768     		y = 0.430328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566558837890625 × 2 - 1) × π
    0.13311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41820151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430328369140625 × 2 - 1) × π
    0.13934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.437759767330353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41820151} λ = 0.41820151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437759767330353))-π/2
    2×atan(1.54923268640731)-π/2
    2×0.997604590405483-π/2
    1.99520918081097-1.57079632675     		φ = 0.42441285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41820151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.961182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42441285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.317065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18565 KachelY 14101 0.41820151 0.42441285 23.961182 24.317065
    Oben rechts KachelX + 1 18566 KachelY 14101 0.41839326 0.42441285 23.972168 24.317065
    Unten links KachelX 18565 KachelY + 1 14102 0.41820151 0.42423811 23.961182 24.307053
    Unten rechts KachelX + 1 18566 KachelY + 1 14102 0.41839326 0.42423811 23.972168 24.307053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42441285-0.42423811) × R
    0.000174740000000007 × 6371000     		dl = 1113.26854000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42441285-0.42423811) × R
    0.000174740000000007 × 6371000     		dr = 1113.26854000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41820151-0.41839326) × cos(0.42441285) × R
    0.000191749999999991 × 0.911280670049049 × 6371000     		do = 1113.25623429816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41820151-0.41839326) × cos(0.42423811) × R
    0.000191749999999991 × 0.911352611585828 × 6371000     		du = 1113.3441209032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42441285)-sin(0.42423811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911280670049049-0.911352611585828)×R²
    abs(0.41839326-0.41820151)×7.19415367786969e-05×R²
    0.000191749999999991×7.19415367786969e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.19415367786969e-05×40589641000000     		ar = 1239402.06645276m²