Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18563 / 15233
↖ ↑ ↗
← N 12.543839°
E 23.939209°		 ← 1 192.42 m → N 12.543839°
E 23.950195°		 →
↑
1 192.46 m
↓
↑
1 192.46 m
↓
N 12.533115°
E 23.939209°		 ← 1 192.47 m →
1 421 939 m²		 N 12.533115°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566513061523438 y=0.464889526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566513061523438 × 215)
    floor (0.566513061523438 × 32768)
    floor (18563.5)     		tx = 18563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464889526367188 × 215)
    floor (0.464889526367188 × 32768)
    floor (15233.5)     		ty = 15233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18563 / 15233 ti = "15/18563/15233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18563/15233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18563 ÷ 215
    18563 ÷ 32768     		x = 0.566497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15233 ÷ 215
    15233 ÷ 32768     		y = 0.464874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566497802734375 × 2 - 1) × π
    0.13299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41781802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464874267578125 × 2 - 1) × π
    0.07025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.220701485850739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41781802} λ = 0.41781802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220701485850739))-π/2
    2×atan(1.24695114244074)-π/2
    2×0.894863814903427-π/2
    1.78972762980685-1.57079632675     		φ = 0.21893130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41781802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21893130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.543839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18563 KachelY 15233 0.41781802 0.21893130 23.939209 12.543839
    Oben rechts KachelX + 1 18564 KachelY 15233 0.41800976 0.21893130 23.950195 12.543839
    Unten links KachelX 18563 KachelY + 1 15234 0.41781802 0.21874413 23.939209 12.533115
    Unten rechts KachelX + 1 18564 KachelY + 1 15234 0.41800976 0.21874413 23.950195 12.533115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21893130-0.21874413) × R
    0.000187169999999987 × 6371000     		dl = 1192.46006999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21893130-0.21874413) × R
    0.000187169999999987 × 6371000     		dr = 1192.46006999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41781802-0.41800976) × cos(0.21893130) × R
    0.000191739999999996 × 0.976130113988604 × 6371000     		do = 1192.41667110586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41781802-0.41800976) × cos(0.21874413) × R
    0.000191739999999996 × 0.976170747698058 × 6371000     		du = 1192.46630825143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21893130)-sin(0.21874413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976130113988604-0.976170747698058)×R²
    abs(0.41800976-0.41781802)×4.06337094540632e-05×R²
    0.000191739999999996×4.06337094540632e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.06337094540632e-05×40589641000000     		ar = 1421938.8664041m²