Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18563 / 15223
↖ ↑ ↗
← N 12.651058°
E 23.939209°		 ← 1 191.92 m → N 12.651058°
E 23.950195°		 →
↑
1 192.01 m
↓
↑
1 192.01 m
↓
N 12.640338°
E 23.939209°		 ← 1 191.97 m →
1 420 813 m²		 N 12.640338°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566513061523438 y=0.464584350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566513061523438 × 215)
    floor (0.566513061523438 × 32768)
    floor (18563.5)     		tx = 18563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464584350585938 × 215)
    floor (0.464584350585938 × 32768)
    floor (15223.5)     		ty = 15223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18563 / 15223 ti = "15/18563/15223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18563/15223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18563 ÷ 215
    18563 ÷ 32768     		x = 0.566497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15223 ÷ 215
    15223 ÷ 32768     		y = 0.464569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566497802734375 × 2 - 1) × π
    0.13299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41781802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464569091796875 × 2 - 1) × π
    0.07086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.222618961835541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41781802} λ = 0.41781802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.222618961835541))-π/2
    2×atan(1.24934443511792)-π/2
    2×0.895799472541511-π/2
    1.79159894508302-1.57079632675     		φ = 0.22080262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41781802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22080262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.651058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18563 KachelY 15223 0.41781802 0.22080262 23.939209 12.651058
    Oben rechts KachelX + 1 18564 KachelY 15223 0.41800976 0.22080262 23.950195 12.651058
    Unten links KachelX 18563 KachelY + 1 15224 0.41781802 0.22061552 23.939209 12.640338
    Unten rechts KachelX + 1 18564 KachelY + 1 15224 0.41800976 0.22061552 23.950195 12.640338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22080262-0.22061552) × R
    0.000187099999999996 × 6371000     		dl = 1192.01409999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22080262-0.22061552) × R
    0.000187099999999996 × 6371000     		dr = 1192.01409999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41781802-0.41800976) × cos(0.22080262) × R
    0.000191739999999996 × 0.975721979553337 × 6371000     		do = 1191.91810406271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41781802-0.41800976) × cos(0.22061552) × R
    0.000191739999999996 × 0.975762939774864 × 6371000     		du = 1191.96814006744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22080262)-sin(0.22061552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975721979553337-0.975762939774864)×R²
    abs(0.41800976-0.41781802)×4.09602215273308e-05×R²
    0.000191739999999996×4.09602215273308e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.09602215273308e-05×40589641000000     		ar = 1420813.01204434m²