Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18563 / 15131
↖ ↑ ↗
← N 13.635310°
E 23.939209°		 ← 1 187.15 m → N 13.635310°
E 23.950195°		 →
↑
1 187.24 m
↓
↑
1 187.24 m
↓
N 13.624633°
E 23.939209°		 ← 1 187.20 m →
1 409 455 m²		 N 13.624633°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566513061523438 y=0.461776733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566513061523438 × 215)
    floor (0.566513061523438 × 32768)
    floor (18563.5)     		tx = 18563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461776733398438 × 215)
    floor (0.461776733398438 × 32768)
    floor (15131.5)     		ty = 15131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18563 / 15131 ti = "15/18563/15131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18563/15131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18563 ÷ 215
    18563 ÷ 32768     		x = 0.566497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15131 ÷ 215
    15131 ÷ 32768     		y = 0.461761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566497802734375 × 2 - 1) × π
    0.13299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41781802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461761474609375 × 2 - 1) × π
    0.07647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.240259740895721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41781802} λ = 0.41781802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240259740895721))-π/2
    2×atan(1.27157938860073)-π/2
    2×0.904388693619382-π/2
    1.80877738723876-1.57079632675     		φ = 0.23798106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41781802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23798106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.635310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18563 KachelY 15131 0.41781802 0.23798106 23.939209 13.635310
    Oben rechts KachelX + 1 18564 KachelY 15131 0.41800976 0.23798106 23.950195 13.635310
    Unten links KachelX 18563 KachelY + 1 15132 0.41781802 0.23779471 23.939209 13.624633
    Unten rechts KachelX + 1 18564 KachelY + 1 15132 0.41800976 0.23779471 23.950195 13.624633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23798106-0.23779471) × R
    0.000186350000000002 × 6371000     		dl = 1187.23585000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23798106-0.23779471) × R
    0.000186350000000002 × 6371000     		dr = 1187.23585000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41781802-0.41800976) × cos(0.23798106) × R
    0.000191739999999996 × 0.971815902222821 × 6371000     		do = 1187.1465355384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41781802-0.41800976) × cos(0.23779471) × R
    0.000191739999999996 × 0.971859815697206 × 6371000     		du = 1187.20017916459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23798106)-sin(0.23779471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971815902222821-0.971859815697206)×R²
    abs(0.41800976-0.41781802)×4.39134743844827e-05×R²
    0.000191739999999996×4.39134743844827e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.39134743844827e-05×40589641000000     		ar = 1409454.77409128m²