Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18560 / 14209
↖ ↑ ↗
← N 70.842870°
W 78.046875°		 ← 200.44 m → N 70.842870°
W 78.041382°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
N 70.841067°
W 78.046875°		 ← 200.45 m →
40 176 m²		 N 70.841067°
W 78.041382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283210754394531 y=0.216819763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283210754394531 × 216)
    floor (0.283210754394531 × 65536)
    floor (18560.5)     		tx = 18560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216819763183594 × 216)
    floor (0.216819763183594 × 65536)
    floor (14209.5)     		ty = 14209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18560 / 14209 ti = "16/18560/14209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18560/14209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18560 ÷ 216
    18560 ÷ 65536     		x = 0.283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14209 ÷ 216
    14209 ÷ 65536     		y = 0.216812133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283203125 × 2 - 1) × π
    -0.43359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36217494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216812133789062 × 2 - 1) × π
    0.566375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77932184009724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36217494} λ = -1.36217494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77932184009724))-π/2
    2×atan(5.92583639100379)-π/2
    2×1.40361883061347-π/2
    2.80723766122694-1.57079632675     		φ = 1.23644133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36217494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23644133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.842870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18560 KachelY 14209 -1.36217494 1.23644133 -78.046875 70.842870
    Oben rechts KachelX + 1 18561 KachelY 14209 -1.36207907 1.23644133 -78.041382 70.842870
    Unten links KachelX 18560 KachelY + 1 14210 -1.36217494 1.23640987 -78.046875 70.841067
    Unten rechts KachelX + 1 18561 KachelY + 1 14210 -1.36207907 1.23640987 -78.041382 70.841067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23644133-1.23640987) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23644133-1.23640987) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36217494--1.36207907) × cos(1.23644133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32815995385072 × 6371000     		do = 200.43608641578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36217494--1.36207907) × cos(1.23640987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328189671501799 × 6371000     		du = 200.454237593612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23644133)-sin(1.23640987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32815995385072-0.328189671501799)×R²
    abs(-1.36207907--1.36217494)×2.97176510786756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97176510786756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97176510786756e-05×40589641000000     		ar = 40175.5565630314m²