Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1856 / 1882
↖ ↑ ↗
← S 81.773643°
E146.250000°		 ← 2 796.72 m → S 81.773643°
E146.425781°		 →
↑
2 792.54 m
↓
↑
2 792.54 m
↓
S 81.798757°
E146.250000°		 ← 2 788.24 m →
7 798 105 m²		 S 81.798757°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906494140625 y=0.919189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906494140625 × 211)
    floor (0.906494140625 × 2048)
    floor (1856.5)     		tx = 1856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.919189453125 × 211)
    floor (0.919189453125 × 2048)
    floor (1882.5)     		ty = 1882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1856 / 1882 ti = "11/1856/1882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1856/1882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1856 ÷ 211
    1856 ÷ 2048     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1882 ÷ 211
    1882 ÷ 2048     		y = 0.9189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9189453125 × 2 - 1) × π
    -0.837890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.63231103193652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63231103193652))-π/2
    2×atan(0.0719120789432043)-π/2
    2×0.0717885013810827-π/2
    0.143577002762165-1.57079632675     		φ = -1.42721932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42721932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.773643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1856 KachelY 1882 2.55254403 -1.42721932 146.250000 -81.773643
    Oben rechts KachelX + 1 1857 KachelY 1882 2.55561199 -1.42721932 146.425781 -81.773643
    Unten links KachelX 1856 KachelY + 1 1883 2.55254403 -1.42765764 146.250000 -81.798757
    Unten rechts KachelX + 1 1857 KachelY + 1 1883 2.55561199 -1.42765764 146.425781 -81.798757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42721932--1.42765764) × R
    0.000438319999999992 × 6371000     		dl = 2792.53671999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42721932--1.42765764) × R
    0.000438319999999992 × 6371000     		dr = 2792.53671999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.55561199) × cos(-1.42721932) × R
    0.00306796000000009 × 0.143084223713226 × 6371000     		do = 2796.72039631823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.55561199) × cos(-1.42765764) × R
    0.00306796000000009 × 0.14265040006888 × 6371000     		du = 2788.24089100967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42721932)-sin(-1.42765764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143084223713226-0.14265040006888)×R²
    abs(2.55561199-2.55254403)×0.000433823644345632×R²
    0.00306796000000009×0.000433823644345632×6371000²
    0.00306796000000009×0.000433823644345632×40589641000000     		ar = 7798104.86216992m²