Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1856 / 1860
↖ ↑ ↗
← S 81.201420°
E146.250000°		 ← 2 989.78 m → S 81.201420°
E146.425781°		 →
↑
2 985.26 m
↓
↑
2 985.26 m
↓
S 81.228267°
E146.250000°		 ← 2 980.73 m →
8 911 754 m²		 S 81.228267°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906494140625 y=0.908447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906494140625 × 211)
    floor (0.906494140625 × 2048)
    floor (1856.5)     		tx = 1856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908447265625 × 211)
    floor (0.908447265625 × 2048)
    floor (1860.5)     		ty = 1860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1856 / 1860 ti = "11/1856/1860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1856/1860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1856 ÷ 211
    1856 ÷ 2048     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1860 ÷ 211
    1860 ÷ 2048     		y = 0.908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908203125 × 2 - 1) × π
    -0.81640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56481587727148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56481587727148))-π/2
    2×atan(0.0769333453153022)-π/2
    2×0.0767820992516802-π/2
    0.15356419850336-1.57079632675     		φ = -1.41723213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41723213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.201420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1856 KachelY 1860 2.55254403 -1.41723213 146.250000 -81.201420
    Oben rechts KachelX + 1 1857 KachelY 1860 2.55561199 -1.41723213 146.425781 -81.201420
    Unten links KachelX 1856 KachelY + 1 1861 2.55254403 -1.41770070 146.250000 -81.228267
    Unten rechts KachelX + 1 1857 KachelY + 1 1861 2.55561199 -1.41770070 146.425781 -81.228267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41723213--1.41770070) × R
    0.000468570000000001 × 6371000     		dl = 2985.25947000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41723213--1.41770070) × R
    0.000468570000000001 × 6371000     		dr = 2985.25947000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.55561199) × cos(-1.41723213) × R
    0.00306796000000009 × 0.152961350526349 × 6371000     		do = 2989.77845190546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.55561199) × cos(-1.41770070) × R
    0.00306796000000009 × 0.152498277802654 × 6371000     		du = 2980.72724487698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41723213)-sin(-1.41770070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152961350526349-0.152498277802654)×R²
    abs(2.55561199-2.55254403)×0.000463072723695557×R²
    0.00306796000000009×0.000463072723695557×6371000²
    0.00306796000000009×0.000463072723695557×40589641000000     		ar = 8911754.49905547m²