Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18559 / 18305
↖ ↑ ↗
← S 20.643065°
E 23.895264°		 ← 1 143.14 m → S 20.643065°
E 23.906250°		 →
↑
1 143.15 m
↓
↑
1 143.15 m
↓
S 20.653346°
E 23.895264°		 ← 1 143.07 m →
1 306 739 m²		 S 20.653346°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566390991210938 y=0.558639526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566390991210938 × 215)
    floor (0.566390991210938 × 32768)
    floor (18559.5)     		tx = 18559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558639526367188 × 215)
    floor (0.558639526367188 × 32768)
    floor (18305.5)     		ty = 18305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18559 / 18305 ti = "15/18559/18305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18559/18305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18559 ÷ 215
    18559 ÷ 32768     		x = 0.566375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18305 ÷ 215
    18305 ÷ 32768     		y = 0.558624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566375732421875 × 2 - 1) × π
    0.13275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41705103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.11724853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.368347136680511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41705103} λ = 0.41705103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368347136680511))-π/2
    2×atan(0.69187696412433)-π/2
    2×0.605253432654684-π/2
    1.21050686530937-1.57079632675     		φ = -0.36028946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41705103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.895264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36028946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.643065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18559 KachelY 18305 0.41705103 -0.36028946 23.895264 -20.643065
    Oben rechts KachelX + 1 18560 KachelY 18305 0.41724277 -0.36028946 23.906250 -20.643065
    Unten links KachelX 18559 KachelY + 1 18306 0.41705103 -0.36046889 23.895264 -20.653346
    Unten rechts KachelX + 1 18560 KachelY + 1 18306 0.41724277 -0.36046889 23.906250 -20.653346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36028946--0.36046889) × R
    0.00017942999999998 × 6371000     		dl = 1143.14852999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36028946--0.36046889) × R
    0.00017942999999998 × 6371000     		dr = 1143.14852999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41705103-0.41724277) × cos(-0.36028946) × R
    0.000191739999999996 × 0.935794815171759 × 6371000     		do = 1143.14405667262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41705103-0.41724277) × cos(-0.36046889) × R
    0.000191739999999996 × 0.935731542936626 × 6371000     		du = 1143.06676485782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36028946)-sin(-0.36046889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935794815171759-0.935731542936626)×R²
    abs(0.41724277-0.41705103)×6.32722351331383e-05×R²
    0.000191739999999996×6.32722351331383e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.32722351331383e-05×40589641000000     		ar = 1306739.27345696m²