Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18559 / 15289
↖ ↑ ↗
← N 11.942601°
E 23.895264°		 ← 1 195.14 m → N 11.942601°
E 23.906250°		 →
↑
1 195.20 m
↓
↑
1 195.20 m
↓
N 11.931852°
E 23.895264°		 ← 1 195.18 m →
1 428 453 m²		 N 11.931852°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566390991210938 y=0.466598510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566390991210938 × 215)
    floor (0.566390991210938 × 32768)
    floor (18559.5)     		tx = 18559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466598510742188 × 215)
    floor (0.466598510742188 × 32768)
    floor (15289.5)     		ty = 15289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18559 / 15289 ti = "15/18559/15289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18559/15289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18559 ÷ 215
    18559 ÷ 32768     		x = 0.566375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15289 ÷ 215
    15289 ÷ 32768     		y = 0.466583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566375732421875 × 2 - 1) × π
    0.13275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41705103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466583251953125 × 2 - 1) × π
    0.06683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.209963620335846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41705103} λ = 0.41705103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209963620335846))-π/2
    2×atan(1.23363317997961)-π/2
    2×0.889617018387303-π/2
    1.77923403677461-1.57079632675     		φ = 0.20843771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41705103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.895264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20843771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.942601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18559 KachelY 15289 0.41705103 0.20843771 23.895264 11.942601
    Oben rechts KachelX + 1 18560 KachelY 15289 0.41724277 0.20843771 23.906250 11.942601
    Unten links KachelX 18559 KachelY + 1 15290 0.41705103 0.20825011 23.895264 11.931852
    Unten rechts KachelX + 1 18560 KachelY + 1 15290 0.41724277 0.20825011 23.906250 11.931852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20843771-0.20825011) × R
    0.00018760000000001 × 6371000     		dl = 1195.19960000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20843771-0.20825011) × R
    0.00018760000000001 × 6371000     		dr = 1195.19960000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41705103-0.41724277) × cos(0.20843771) × R
    0.000191739999999996 × 0.978355395844341 × 6371000     		do = 1195.13502099044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41705103-0.41724277) × cos(0.20825011) × R
    0.000191739999999996 × 0.978394199010932 × 6371000     		du = 1195.18242198962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20843771)-sin(0.20825011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978355395844341-0.978394199010932)×R²
    abs(0.41724277-0.41705103)×3.88031665909949e-05×R²
    0.000191739999999996×3.88031665909949e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.88031665909949e-05×40589641000000     		ar = 1428453.23005091m²