Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18559 / 14217
↖ ↑ ↗
← N 23.150462°
E 23.895264°		 ← 1 123.21 m → N 23.150462°
E 23.906250°		 →
↑
1 123.33 m
↓
↑
1 123.33 m
↓
N 23.140360°
E 23.895264°		 ← 1 123.29 m →
1 261 787 m²		 N 23.140360°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566390991210938 y=0.433883666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566390991210938 × 215)
    floor (0.566390991210938 × 32768)
    floor (18559.5)     		tx = 18559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433883666992188 × 215)
    floor (0.433883666992188 × 32768)
    floor (14217.5)     		ty = 14217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18559 / 14217 ti = "15/18559/14217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18559/14217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18559 ÷ 215
    18559 ÷ 32768     		x = 0.566375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14217 ÷ 215
    14217 ÷ 32768     		y = 0.433868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566375732421875 × 2 - 1) × π
    0.13275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41705103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433868408203125 × 2 - 1) × π
    0.13226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.415517045906647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41705103} λ = 0.41705103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415517045906647))-π/2
    2×atan(1.51515394234282)-π/2
    2×0.987424056275932-π/2
    1.97484811255186-1.57079632675     		φ = 0.40405179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41705103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.895264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40405179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.150462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18559 KachelY 14217 0.41705103 0.40405179 23.895264 23.150462
    Oben rechts KachelX + 1 18560 KachelY 14217 0.41724277 0.40405179 23.906250 23.150462
    Unten links KachelX 18559 KachelY + 1 14218 0.41705103 0.40387547 23.895264 23.140360
    Unten rechts KachelX + 1 18560 KachelY + 1 14218 0.41724277 0.40387547 23.906250 23.140360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40405179-0.40387547) × R
    0.000176320000000008 × 6371000     		dl = 1123.33472000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40405179-0.40387547) × R
    0.000176320000000008 × 6371000     		dr = 1123.33472000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41705103-0.41724277) × cos(0.40405179) × R
    0.000191739999999996 × 0.919475596455095 × 6371000     		do = 1123.20889825643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41705103-0.41724277) × cos(0.40387547) × R
    0.000191739999999996 × 0.919544901855439 × 6371000     		du = 1123.29356003828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40405179)-sin(0.40387547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919475596455095-0.919544901855439)×R²
    abs(0.41724277-0.41705103)×6.93054003432225e-05×R²
    0.000191739999999996×6.93054003432225e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.93054003432225e-05×40589641000000     		ar = 1261787.10825306m²