Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18554 / 15293
↖ ↑ ↗
← N 11.899603°
E 23.840332°		 ← 1 195.39 m → N 11.899603°
E 23.851319°		 →
↑
1 195.39 m
↓
↑
1 195.39 m
↓
N 11.888853°
E 23.840332°		 ← 1 195.43 m →
1 428 982 m²		 N 11.888853°
E 23.851319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566238403320312 y=0.466720581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566238403320312 × 215)
    floor (0.566238403320312 × 32768)
    floor (18554.5)     		tx = 18554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466720581054688 × 215)
    floor (0.466720581054688 × 32768)
    floor (15293.5)     		ty = 15293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18554 / 15293 ti = "15/18554/15293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18554/15293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18554 ÷ 215
    18554 ÷ 32768     		x = 0.56622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15293 ÷ 215
    15293 ÷ 32768     		y = 0.466705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56622314453125 × 2 - 1) × π
    0.1324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41609229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466705322265625 × 2 - 1) × π
    0.06658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.209196629941925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41609229} λ = 0.41609229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209196629941925))-π/2
    2×atan(1.23268735794552)-π/2
    2×0.889241794051286-π/2
    1.77848358810257-1.57079632675     		φ = 0.20768726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41609229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20768726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.899603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18554 KachelY 15293 0.41609229 0.20768726 23.840332 11.899603
    Oben rechts KachelX + 1 18555 KachelY 15293 0.41628404 0.20768726 23.851319 11.899603
    Unten links KachelX 18554 KachelY + 1 15294 0.41609229 0.20749963 23.840332 11.888853
    Unten rechts KachelX + 1 18555 KachelY + 1 15294 0.41628404 0.20749963 23.851319 11.888853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20768726-0.20749963) × R
    0.000187630000000022 × 6371000     		dl = 1195.39073000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20768726-0.20749963) × R
    0.000187630000000022 × 6371000     		dr = 1195.39073000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41609229-0.41628404) × cos(0.20768726) × R
    0.000191750000000046 × 0.978510412214897 × 6371000     		do = 1195.38672609568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41609229-0.41628404) × cos(0.20749963) × R
    0.000191750000000046 × 0.97854908381106 × 6371000     		du = 1195.43396883542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20768726)-sin(0.20749963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978510412214897-0.97854908381106)×R²
    abs(0.41628404-0.41609229)×3.8671596163331e-05×R²
    0.000191750000000046×3.8671596163331e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.8671596163331e-05×40589641000000     		ar = 1428982.45209895m²