Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18554 / 15174
↖ ↑ ↗
← N 13.175771°
E 23.840332°		 ← 1 189.48 m → N 13.175771°
E 23.851319°		 →
↑
1 189.47 m
↓
↑
1 189.47 m
↓
N 13.165074°
E 23.840332°		 ← 1 189.53 m →
1 414 877 m²		 N 13.165074°
E 23.851319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566238403320312 y=0.463088989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566238403320312 × 215)
    floor (0.566238403320312 × 32768)
    floor (18554.5)     		tx = 18554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463088989257812 × 215)
    floor (0.463088989257812 × 32768)
    floor (15174.5)     		ty = 15174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18554 / 15174 ti = "15/18554/15174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18554/15174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18554 ÷ 215
    18554 ÷ 32768     		x = 0.56622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15174 ÷ 215
    15174 ÷ 32768     		y = 0.46307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56622314453125 × 2 - 1) × π
    0.1324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41609229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46307373046875 × 2 - 1) × π
    0.0738525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.232014594161072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41609229} λ = 0.41609229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232014594161072))-π/2
    2×atan(1.26113813394709)-π/2
    2×0.900378458072076-π/2
    1.80075691614415-1.57079632675     		φ = 0.22996059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41609229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22996059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.175771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18554 KachelY 15174 0.41609229 0.22996059 23.840332 13.175771
    Oben rechts KachelX + 1 18555 KachelY 15174 0.41628404 0.22996059 23.851319 13.175771
    Unten links KachelX 18554 KachelY + 1 15175 0.41609229 0.22977389 23.840332 13.165074
    Unten rechts KachelX + 1 18555 KachelY + 1 15175 0.41628404 0.22977389 23.851319 13.165074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22996059-0.22977389) × R
    0.000186699999999984 × 6371000     		dl = 1189.4656999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22996059-0.22977389) × R
    0.000186699999999984 × 6371000     		dr = 1189.4656999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41609229-0.41628404) × cos(0.22996059) × R
    0.000191750000000046 × 0.973675378843451 × 6371000     		do = 1189.48005955407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41609229-0.41628404) × cos(0.22977389) × R
    0.000191750000000046 × 0.973717918113079 × 6371000     		du = 1189.53202719551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22996059)-sin(0.22977389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973675378843451-0.973717918113079)×R²
    abs(0.41628404-0.41609229)×4.25392696276061e-05×R²
    0.000191750000000046×4.25392696276061e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.25392696276061e-05×40589641000000     		ar = 1414876.64264685m²