Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18554 / 14110
↖ ↑ ↗
← N 24.226929°
E 23.840332°		 ← 1 114.05 m → N 24.226929°
E 23.851319°		 →
↑
1 114.03 m
↓
↑
1 114.03 m
↓
N 24.216910°
E 23.840332°		 ← 1 114.13 m →
1 241 133 m²		 N 24.216910°
E 23.851319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566238403320312 y=0.430618286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566238403320312 × 215)
    floor (0.566238403320312 × 32768)
    floor (18554.5)     		tx = 18554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430618286132812 × 215)
    floor (0.430618286132812 × 32768)
    floor (14110.5)     		ty = 14110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18554 / 14110 ti = "15/18554/14110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18554/14110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18554 ÷ 215
    18554 ÷ 32768     		x = 0.56622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14110 ÷ 215
    14110 ÷ 32768     		y = 0.43060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56622314453125 × 2 - 1) × π
    0.1324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41609229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43060302734375 × 2 - 1) × π
    0.1387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.436034038944031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41609229} λ = 0.41609229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436034038944031))-π/2
    2×atan(1.54656143717163)-π/2
    2×0.996817999816582-π/2
    1.99363599963316-1.57079632675     		φ = 0.42283967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41609229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42283967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.226929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18554 KachelY 14110 0.41609229 0.42283967 23.840332 24.226929
    Oben rechts KachelX + 1 18555 KachelY 14110 0.41628404 0.42283967 23.851319 24.226929
    Unten links KachelX 18554 KachelY + 1 14111 0.41609229 0.42266481 23.840332 24.216910
    Unten rechts KachelX + 1 18555 KachelY + 1 14111 0.41628404 0.42266481 23.851319 24.216910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42283967-0.42266481) × R
    0.000174859999999999 × 6371000     		dl = 1114.03305999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42283967-0.42266481) × R
    0.000174859999999999 × 6371000     		dr = 1114.03305999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41609229-0.41628404) × cos(0.42283967) × R
    0.000191750000000046 × 0.911927355295832 × 6371000     		do = 1114.04625037835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41609229-0.41628404) × cos(0.42266481) × R
    0.000191750000000046 × 0.91199909544812 × 6371000     		du = 1114.13389096419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42283967)-sin(0.42266481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911927355295832-0.91199909544812)×R²
    abs(0.41628404-0.41609229)×7.17401522875027e-05×R²
    0.000191750000000046×7.17401522875027e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.17401522875027e-05×40589641000000     		ar = 1241133.17370765m²