Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18552 / 14200
↖ ↑ ↗
← N 70.859087°
W 78.090820°		 ← 200.27 m → N 70.859087°
W 78.085327°		 →
↑
200.30 m
↓
↑
200.30 m
↓
N 70.857286°
W 78.090820°		 ← 200.29 m →
40 117 m²		 N 70.857286°
W 78.085327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283088684082031 y=0.216682434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283088684082031 × 216)
    floor (0.283088684082031 × 65536)
    floor (18552.5)     		tx = 18552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216682434082031 × 216)
    floor (0.216682434082031 × 65536)
    floor (14200.5)     		ty = 14200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18552 / 14200 ti = "16/18552/14200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18552/14200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18552 ÷ 216
    18552 ÷ 65536     		x = 0.2830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14200 ÷ 216
    14200 ÷ 65536     		y = 0.2166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36294193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2166748046875 × 2 - 1) × π
    0.566650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78018470429041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36294193} λ = -1.36294193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78018470429041))-π/2
    2×atan(5.9309517896699)-π/2
    2×1.40376035166331-π/2
    2.80752070332661-1.57079632675     		φ = 1.23672438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36294193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.090820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23672438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.859087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18552 KachelY 14200 -1.36294193 1.23672438 -78.090820 70.859087
    Oben rechts KachelX + 1 18553 KachelY 14200 -1.36284606 1.23672438 -78.085327 70.859087
    Unten links KachelX 18552 KachelY + 1 14201 -1.36294193 1.23669294 -78.090820 70.857286
    Unten rechts KachelX + 1 18553 KachelY + 1 14201 -1.36284606 1.23669294 -78.085327 70.857286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23672438-1.23669294) × R
    3.14400000001047e-05 × 6371000     		dl = 200.304240000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23672438-1.23669294) × R
    3.14400000001047e-05 × 6371000     		dr = 200.304240000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36294193--1.36284606) × cos(1.23672438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327892565403332 × 6371000     		do = 200.272768822276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36294193--1.36284606) × cos(1.23669294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327922267081442 × 6371000     		du = 200.290910244014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23672438)-sin(1.23669294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327892565403332-0.327922267081442)×R²
    abs(-1.36284606--1.36294193)×2.97016781098947e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97016781098947e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97016781098947e-05×40589641000000     		ar = 40117.3016566139m²