Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18552 / 13340
↖ ↑ ↗
← N 31.690782°
E 23.818359°		 ← 1 039.49 m → N 31.690782°
E 23.829346°		 →
↑
1 039.56 m
↓
↑
1 039.56 m
↓
N 31.681433°
E 23.818359°		 ← 1 039.59 m →
1 080 660 m²		 N 31.681433°
E 23.829346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566177368164062 y=0.407119750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566177368164062 × 215)
    floor (0.566177368164062 × 32768)
    floor (18552.5)     		tx = 18552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407119750976562 × 215)
    floor (0.407119750976562 × 32768)
    floor (13340.5)     		ty = 13340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18552 / 13340 ti = "15/18552/13340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18552/13340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18552 ÷ 215
    18552 ÷ 32768     		x = 0.566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13340 ÷ 215
    13340 ÷ 32768     		y = 0.4071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566162109375 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4071044921875 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.583679689773804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41570879} λ = 0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583679689773804))-π/2
    2×atan(1.79262260452858)-π/2
    2×1.06195240591445-π/2
    2.1239048118289-1.57079632675     		φ = 0.55310849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55310849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.690782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18552 KachelY 13340 0.41570879 0.55310849 23.818359 31.690782
    Oben rechts KachelX + 1 18553 KachelY 13340 0.41590054 0.55310849 23.829346 31.690782
    Unten links KachelX 18552 KachelY + 1 13341 0.41570879 0.55294532 23.818359 31.681433
    Unten rechts KachelX + 1 18553 KachelY + 1 13341 0.41590054 0.55294532 23.829346 31.681433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55310849-0.55294532) × R
    0.00016316999999999 × 6371000     		dl = 1039.55606999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55310849-0.55294532) × R
    0.00016316999999999 × 6371000     		dr = 1039.55606999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41570879-0.41590054) × cos(0.55310849) × R
    0.000191749999999991 × 0.850895637806526 × 6371000     		do = 1039.48750879819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41570879-0.41590054) × cos(0.55294532) × R
    0.000191749999999991 × 0.850981345352165 × 6371000     		du = 1039.59221249996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55310849)-sin(0.55294532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850895637806526-0.850981345352165)×R²
    abs(0.41590054-0.41570879)×8.57075456383027e-05×R²
    0.000191749999999991×8.57075456383027e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.57075456383027e-05×40589641000000     		ar = 1080659.97454256m²