Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18551 / 19624
↖ ↑ ↗
← S 33.504759°
E 23.807373°		 ← 1 018.60 m → S 33.504759°
E 23.818359°		 →
↑
1 018.60 m
↓
↑
1 018.60 m
↓
S 33.513919°
E 23.807373°		 ← 1 018.49 m →
1 037 485 m²		 S 33.513919°
E 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566146850585938 y=0.598892211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566146850585938 × 215)
    floor (0.566146850585938 × 32768)
    floor (18551.5)     		tx = 18551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598892211914062 × 215)
    floor (0.598892211914062 × 32768)
    floor (19624.5)     		ty = 19624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18551 / 19624 ti = "15/18551/19624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18551/19624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18551 ÷ 215
    18551 ÷ 32768     		x = 0.566131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19624 ÷ 215
    19624 ÷ 32768     		y = 0.598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566131591796875 × 2 - 1) × π
    0.13226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41551705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.19775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.621262219075928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41551705} λ = 0.41551705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621262219075928))-π/2
    2×atan(0.537265862209243)-π/2
    2×0.493013982982139-π/2
    0.986027965964277-1.57079632675     		φ = -0.58476836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41551705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.807373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58476836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.504759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18551 KachelY 19624 0.41551705 -0.58476836 23.807373 -33.504759
    Oben rechts KachelX + 1 18552 KachelY 19624 0.41570879 -0.58476836 23.818359 -33.504759
    Unten links KachelX 18551 KachelY + 1 19625 0.41551705 -0.58492824 23.807373 -33.513919
    Unten rechts KachelX + 1 18552 KachelY + 1 19625 0.41570879 -0.58492824 23.818359 -33.513919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58476836--0.58492824) × R
    0.000159880000000001 × 6371000     		dl = 1018.59548000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58476836--0.58492824) × R
    0.000159880000000001 × 6371000     		dr = 1018.59548000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41551705-0.41570879) × cos(-0.58476836) × R
    0.000191739999999996 × 0.833839974983535 × 6371000     		do = 1018.59851771408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41551705-0.41570879) × cos(-0.58492824) × R
    0.000191739999999996 × 0.83375170956808 × 6371000     		du = 1018.49069484153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58476836)-sin(-0.58492824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833839974983535-0.83375170956808)×R²
    abs(0.41570879-0.41551705)×8.82654154542584e-05×R²
    0.000191739999999996×8.82654154542584e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.82654154542584e-05×40589641000000     		ar = 1037484.93434254m²