Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18550 / 14263
↖ ↑ ↗
← N 70.745289°
W 78.101807°		 ← 201.44 m → N 70.745289°
W 78.096313°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
N 70.743478°
W 78.101807°		 ← 201.46 m →
40 582 m²		 N 70.743478°
W 78.096313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283058166503906 y=0.217643737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283058166503906 × 216)
    floor (0.283058166503906 × 65536)
    floor (18550.5)     		tx = 18550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217643737792969 × 216)
    floor (0.217643737792969 × 65536)
    floor (14263.5)     		ty = 14263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18550 / 14263 ti = "16/18550/14263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18550/14263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18550 ÷ 216
    18550 ÷ 65536     		x = 0.283050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14263 ÷ 216
    14263 ÷ 65536     		y = 0.217636108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.43389892578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36313368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217636108398438 × 2 - 1) × π
    0.564727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77414465493828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36313368} λ = -1.36313368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77414465493828))-π/2
    2×atan(5.89523651773865)-π/2
    2×1.40276727805822-π/2
    2.80553455611644-1.57079632675     		φ = 1.23473823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36313368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.101807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23473823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.745289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18550 KachelY 14263 -1.36313368 1.23473823 -78.101807 70.745289
    Oben rechts KachelX + 1 18551 KachelY 14263 -1.36303780 1.23473823 -78.096313 70.745289
    Unten links KachelX 18550 KachelY + 1 14264 -1.36313368 1.23470661 -78.101807 70.743478
    Unten rechts KachelX + 1 18551 KachelY + 1 14264 -1.36303780 1.23470661 -78.096313 70.743478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23473823-1.23470661) × R
    3.1620000000121e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23473823-1.23470661) × R
    3.1620000000121e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36313368--1.36303780) × cos(1.23473823) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.329768263169293 × 6371000     		do = 201.43943161386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36313368--1.36303780) × cos(1.23470661) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.329798114242072 × 6371000     		du = 201.457666185847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23473823)-sin(1.23470661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329768263169293-0.329798114242072)×R²
    abs(-1.36303780--1.36313368)×2.98510727793078e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.98510727793078e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.98510727793078e-05×40589641000000     		ar = 40582.0156571258m²