Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18550 / 13713
↖ ↑ ↗
← N 28.139816°
E 23.796387°		 ← 1 077.24 m → N 28.139816°
E 23.807373°		 →
↑
1 077.27 m
↓
↑
1 077.27 m
↓
N 28.130128°
E 23.796387°		 ← 1 077.34 m →
1 160 534 m²		 N 28.130128°
E 23.807373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566116333007812 y=0.418502807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566116333007812 × 215)
    floor (0.566116333007812 × 32768)
    floor (18550.5)     		tx = 18550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418502807617188 × 215)
    floor (0.418502807617188 × 32768)
    floor (13713.5)     		ty = 13713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18550 / 13713 ti = "15/18550/13713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18550/13713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18550 ÷ 215
    18550 ÷ 32768     		x = 0.56610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13713 ÷ 215
    13713 ÷ 32768     		y = 0.418487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56610107421875 × 2 - 1) × π
    0.1322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41532530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418487548828125 × 2 - 1) × π
    0.16302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.51215783554068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41532530} λ = 0.41532530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51215783554068))-π/2
    2×atan(1.66888849927165)-π/2
    2×1.03096438268232-π/2
    2.06192876536465-1.57079632675     		φ = 0.49113244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41532530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49113244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.139816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18550 KachelY 13713 0.41532530 0.49113244 23.796387 28.139816
    Oben rechts KachelX + 1 18551 KachelY 13713 0.41551705 0.49113244 23.807373 28.139816
    Unten links KachelX 18550 KachelY + 1 13714 0.41532530 0.49096335 23.796387 28.130128
    Unten rechts KachelX + 1 18551 KachelY + 1 13714 0.41551705 0.49096335 23.807373 28.130128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49113244-0.49096335) × R
    0.000169089999999983 × 6371000     		dl = 1077.27238999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49113244-0.49096335) × R
    0.000169089999999983 × 6371000     		dr = 1077.27238999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41532530-0.41551705) × cos(0.49113244) × R
    0.000191749999999991 × 0.881799337382485 × 6371000     		do = 1077.24068117038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41532530-0.41551705) × cos(0.49096335) × R
    0.000191749999999991 × 0.881879071809394 × 6371000     		du = 1077.33808787587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49113244)-sin(0.49096335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881799337382485-0.881879071809394)×R²
    abs(0.41551705-0.41532530)×7.97344269091171e-05×R²
    0.000191749999999991×7.97344269091171e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.97344269091171e-05×40589641000000     		ar = 1160534.11275205m²